Calcule, caso exista, os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos ^{2} x}{x \operatorname{sen} x}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to0}\frac{1-\cos^{2}x}{x\,\operatorname{sen} x},
que é do tipo \frac{0}{0}. Vamos usar identidades trigonométricas e o limite fundamental \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1.

Passo 2

Aplicamos a identidade pitagórica
1-\cos^{2}x=\operatorname{sen}^{2}x,
de modo que a expressão fica
\frac{1-\cos^{2}x}{x\,\operatorname{sen} x} =\frac{\operatorname{sen}^{2}x}{x\,\operatorname{sen} x}.

Passo 3

Para x\neq0 podemos simplificar um fator \operatorname{sen} x, obtendo
\frac{\operatorname{sen}^{2}x}{x\,\operatorname{sen} x} =\frac{\operatorname{sen} x}{x}.

Passo 4

Usamos o limite fundamental
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1.

Resposta

1

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