Calcule, caso existam, os limites a seguir.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x-1}{x^{4}-1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite \lim_{x\to1}\frac{x-1}{x^4-1},
que é um caso de forma indeterminada 0/0. Para resolver, vamos usar fatoração de polinômios e simplificar a expressão.

Passo 2

Observe que
x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1).

Passo 3

Para x \neq 1, podemos cancelar o fator (x-1):
\frac{x-1}{x^4-1} = \frac{x-1}{(x-1)(x+1)(x^2+1)} = \frac{1}{(x+1)(x^2+1)}.

Passo 4

Então o limite vira
\lim_{x\to1}\frac{1}{(x+1)(x^2+1)} = \frac{1}{(1+1)(1^2+1)} = \frac{1}{2\cdot2} = \frac{1}{4}.

Resposta

\dfrac{1}{4}

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