Calcule, caso existam, os limites a seguir.
\lim _{x \rightarrow \frac{2}{3}} \frac{3 x-2}{\sqrt{3 x}-\sqrt{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to \tfrac{2}{3}} \frac{3x-2}{\sqrt{3x}-\sqrt2}.
Percebemos que, ao substituir x=\tfrac{2}{3}, obtemos a forma indeterminada 0/0. Para resolver, vamos usar a técnica de racionalização do denominador.

Passo 2

Fazendo a substituição direta:
3\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)-2 = 2-2 = 0, \quad \sqrt{3\cdot\tfrac{2}{3}}-\sqrt2 = \sqrt2-\sqrt2=0.
Logo, temos 0/0 e precisamos manipular a expressão.

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{3x}+\sqrt2:
\frac{3x-2}{\sqrt{3x}-\sqrt2}\;\cdot\;\frac{\sqrt{3x}+\sqrt2}{\sqrt{3x}+\sqrt2} = \frac{(3x-2)\,(\sqrt{3x}+\sqrt2)}{(\sqrt{3x})^2-(\sqrt2)^2}.

Passo 4

Como (\sqrt{3x})^2-(\sqrt2)^2 = 3x-2, cancelamos esse fator:
\frac{(3x-2)\,(\sqrt{3x}+\sqrt2)}{3x-2} = \sqrt{3x}+\sqrt2.

Passo 5

Agora basta calcular o limite de \sqrt{3x}+\sqrt2 quando x\to\tfrac{2}{3}:
\sqrt{3\cdot\tfrac{2}{3}}+\sqrt2 = \sqrt2+\sqrt2 = 2\sqrt2.

Resposta

2\sqrt{2}

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