Calcule, caso existam, os limites a seguir.
\lim _{x \rightarrow-\sqrt{2}} \frac{x^{3}+2}{x+\sqrt{2}}

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to -\sqrt{2}} \frac{x^3+2}{x+\sqrt{2}}.
O conteúdo aqui é análise de limite que pode divergir, verificando se o numerador e o denominador tendem a zero ou não, e em caso de divergência, caracterizar o comportamento para x\to -\sqrt{2}^- e x\to -\sqrt{2}^+.

Passo 2

Tentamos a substituição direta em cada parte:
\text{numerador: }( -\sqrt{2})^3 + 2 = -2\sqrt{2} + 2,
\text{denominador: }(-\sqrt{2}) + \sqrt{2} = 0.
Como o numerador tende a -2\sqrt{2}+2\neq 0 e o denominador tende a zero, não temos forma 0/0, mas sim algo do tipo não nulo sobre zero.

Passo 3

Para saber se o quociente diverge para +\infty ou -\infty, analisamos o sinal de numerador e denominador próximos de x=-\sqrt{2}.
O numerador x^3+2 ao aproximar x\to -\sqrt{2} é aproximadamente -2\sqrt{2}+2\approx -0,828, ou seja, negativo.

Passo 4

O sinal do denominador x+\sqrt{2}:
  • Se x>- \sqrt{2}, então x+\sqrt{2}>0, logo o quociente é negativo sobre positivo, tendendo a -\infty.
  • Se x< -\sqrt{2}, então x+\sqrt{2}<0, logo o quociente é negativo sobre negativo, tendendo a +\infty.

Resposta

O limite bilateral não existe, pois
\lim_{x\to -\sqrt{2}^-}\frac{x^3+2}{x+\sqrt{2}} = +\infty \quad\text{e}\quad \lim_{x\to -\sqrt{2}^+}\frac{x^3+2}{x+\sqrt{2}} = -\infty.

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