(3,0) Calcule, caso existam, os seguintes limites: lim t 2 F(t), onde F(t)=t^3-8t^2-4 i+sen(t-2)t-2 j+2 t^2 k

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite de uma função vetorial quando F(t) = t^3-8t^2-4 , i + sen(t-2)t-2 , j + 2 t^2 , k se aproxima de 2. A função vetorial é dada por:
Aqui, trabalharemos com limites de funções em cada uma das componentes , e . Vamos precisar usar álgebra para simplificar frações e conhecer o limite fundamental da função seno.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da componente limt to 2 t^3 - 8t^2 - 4 :
t^3 - 8t^2 - 4 = (t - 2)(t^2 + 2t + 4)(t - 2)(t + 2) = t^2 + 2t + 4t + 2 quando t neq 2
Perceba que 2^2 + 2 times 2 + 42 + 2 = 4 + 4 + 44 = 124 = 3 pode ser fatorado como e é uma diferença de quadrados que pode ser fatorada como . Então:
Agora, podemos substituir :

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da componente limt to 2 sen(t - 2)t - 2 :
Esse é um limite fundamental no cálculo:
Aqui, substituindo limx to 0 sen xx = 1 , quando limt to 2 sen(t - 2)t - 2 = 1 , . Portanto:

Passo 4

Por fim, vamos calcular o limite da componente limt to 2 2 t^2 :
2 times 2^2 = 2 times 4 = 8
Isso é direto, basta substituir :

Resposta

Portanto, o limite da função vetorial quando limt to 2 F(t) = 3 , i + 1 , j + 8 , k se aproxima de 2 é:

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