Calcule, caso existam, os seguintes limites:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que calcular o limite quando o ponto
se aproxima de
da expressão:
Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções se comportam quando
se aproxima de
de diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do limite:
Temos o numerador
e o denominador
. Queremos ver o que acontece com essa fração quando
e
ficam muito próximos de zero.
Passo 3
Vamos tentar substituir diretamente
e
na expressão:
Obtemos uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos analisar o limite de outra maneira, já que a substituição direta não nos dá a resposta.
Passo 4
Uma maneira de investigar esse limite é considerar diferentes caminhos pelos quais
se aproxima de
e ver se o limite é o mesmo em todos esses caminhos. Se encontrarmos diferentes valores, o limite não existe. Se for o mesmo em todos os caminhos, então esse é o valor do limite.
Vamos testar dois caminhos comuns:
-
, onde é uma constante. -
ou .
Passo 5
Primeiro, vamos considerar o caminho
.
Substituindo
por
na expressão:
Simplificando, lembrando que
:
Quando
,
, então o limite ao longo desse caminho é
.
Passo 6
Agora, vamos considerar o caminho em que
:
Substituindo
na expressão:
Portanto, o limite também é
nesse caminho.
Passo 7
Como testamos diferentes caminhos e em todos eles o limite foi
, podemos concluir que o limite geral é
. Além disso, a função é contínua e não apresenta comportamentos estranhos próximos a
que possam impedir essa conclusão.
Resposta
O limite é igual a
.