Calcule o comprimento de arco das curvas:
x=\ln (\operatorname{sec} t), y=t, 0 \leq t \leq \pi / 4

Passo 1

O enunciado pede: calcular o comprimento de arco da curva dada por x=\ln(\operatorname{sec} t), y=t no intervalo 0\le t\le \pi/4.
Informações fornecidas:
  • As coordenadas paramétricas são x(t)=\ln(\operatorname{sec} t) e y(t)=t.
  • O parâmetro varia em t\in[0,\pi/4].
  • Precisamos devolver o comprimento de arco no intervalo dado.

Passo 2

Fórmula que usamos (explicando passo a passo): para uma curva paramétrica (x(t),y(t)) com t variando de a a b, o comprimento de arco L é dado por
L=\int_{a}^{b}\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2+\bigl(y'(t)\bigr)^2}\,dt.
Aqui x'(t) é a derivada de x em relação a t e y'(t) é a derivada de y em relação a t. A ideia é que, para um pequeno incremento dt, o pedaço de curva tem comprimento aproximadamente \sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\sqrt{(x'(t)dt)^2+(y'(t)dt)^2}, e integrando somamos todos os pedacinhos.

Passo 3

Calcular as derivadas das componentes (vou explicar cada derivada):
  • Para y(t)=t temos imediatamente
y'(t)=1,
porque a derivada de t em relação a t é 1.
  • Para x(t)=\ln(\operatorname{sec} t) usamos a regra da cadeia. Primeiro, a derivada de \ln(u) em relação a u é 1/u. Aqui u=\operatorname{sec} t. A derivada de \operatorname{sec} t em relação a t é \operatorname{sec} t\tan t. Assim
x'(t)=\frac{d}{dt}\ln(\operatorname{sec} t)=\frac{\operatorname{sec} t\tan t}{\operatorname{sec} t}=\tan t.
Ou seja, x'(t)=\tan t. (Observação: passei pela regra da cadeia: (\ln u)'=u'/u.)

Passo 4

Montar o integrando e simplificar usando identidade trigonométrica:
\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2+\bigl(y'(t)\bigr)^2} =\sqrt{\tan^2 t + 1}.
Usamos a identidade trigonométrica fundamental \tan^2 t + 1 = \operatorname{sec}^2 t. Então o integrando fica
\sqrt{\tan^2 t + 1}=\sqrt{\operatorname{sec}^2 t}=|\operatorname{sec} t|.
Agora avaliamos o sinal: para t\in[0,\pi/4] temos \cos t>0, logo \operatorname{sec} t=1/\cos t>0. Portanto |\operatorname{sec} t|=\operatorname{sec} t no intervalo considerado. Assim o comprimento é
L=\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec} t\,dt.

Passo 5

Integrar \operatorname{sec} t. Vou mostrar um truque padrão para obter a primitiva de \operatorname{sec} t. Multiplicamos por \dfrac{\operatorname{sec} t+\tan t}{\operatorname{sec} t+\tan t} e reescrevemos:
\int \operatorname{sec} t\,dt=\int \frac{\operatorname{sec} t(\operatorname{sec} t+\tan t)}{\operatorname{sec} t+\tan t}\,dt.
Note que o numerador é \operatorname{sec} t(\operatorname{sec} t+\tan t)=\operatorname{sec}^2 t+\operatorname{sec} t\tan t, que é justamente a derivada de \operatorname{sec} t+\tan t porque
\frac{d}{dt}(\operatorname{sec} t+\tan t)=\operatorname{sec} t\tan t+\operatorname{sec}^2 t.
Logo podemos fazer a substituição u=\operatorname{sec} t+\tan t, que dá du=(\operatorname{sec}^2 t+\operatorname{sec} t\tan t)\,dt. Assim
\int \operatorname{sec} t\,dt=\int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C=\ln\bigl|\operatorname{sec} t+\tan t\bigr|+C.
Portanto uma primitiva de \operatorname{sec} t é \ln\bigl|\operatorname{sec} t+\tan t\bigr|.

Passo 6

Aplicar a primitiva ao integral definido de 0 a \pi/4:
L=\left[\ln\bigl|\operatorname{sec} t+\tan t\bigr|\right]_{0}^{\pi/4} =\ln\bigl(\operatorname{sec}(\pi/4)+\tan(\pi/4)\bigr)-\ln\bigl(\operatorname{sec} 0+\tan 0\bigr).
Calcular os valores:
  • \operatorname{sec}(\pi/4)=\dfrac{1}{\cos(\pi/4)}=\dfrac{1}{\sqrt{2}/2}=\sqrt{2}.
  • \tan(\pi/4)=1.
  • \operatorname{sec} 0=1.
  • \tan 0=0.
Substituindo:
L=\ln\bigl(\sqrt{2}+1\bigr)-\ln(1)=\ln\bigl(\sqrt{2}+1\bigr)-0=\ln\bigl(\sqrt{2}+1\bigr).

Resposta

\ln(\sqrt{2}+1)

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