Aqui x'(t) é a derivada de x em relação a t e y'(t) é a derivada de y em relação a t. A ideia é que, para um pequeno incremento dt, o pedaço de curva tem comprimento aproximadamente \sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\sqrt{(x'(t)dt)^2+(y'(t)dt)^2}, e integrando somamos todos os pedacinhos.
Passo 3
Calcular as derivadas das componentes (vou explicar cada derivada):
Para y(t)=t temos imediatamente
y'(t)=1,
porque a derivada de t em relação a t é 1.
Para x(t)=\ln(\operatorname{sec} t) usamos a regra da cadeia. Primeiro, a derivada de \ln(u) em relação a u é 1/u. Aqui u=\operatorname{sec} t. A derivada de \operatorname{sec} t em relação a t é \operatorname{sec} t\tan t. Assim
x'(t)=\frac{d}{dt}\ln(\operatorname{sec} t)=\frac{\operatorname{sec} t\tan t}{\operatorname{sec} t}=\tan t.
Ou seja, x'(t)=\tan t. (Observação: passei pela regra da cadeia: (\ln u)'=u'/u.)
Passo 4
Montar o integrando e simplificar usando identidade trigonométrica:
\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2+\bigl(y'(t)\bigr)^2} =\sqrt{\tan^2 t + 1}.
Usamos a identidade trigonométrica fundamental \tan^2 t + 1 = \operatorname{sec}^2 t. Então o integrando fica
\sqrt{\tan^2 t + 1}=\sqrt{\operatorname{sec}^2 t}=|\operatorname{sec} t|.
Agora avaliamos o sinal: para t\in[0,\pi/4] temos \cos t>0, logo \operatorname{sec} t=1/\cos t>0. Portanto |\operatorname{sec} t|=\operatorname{sec} t no intervalo considerado. Assim o comprimento é
L=\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec} t\,dt.
Passo 5
Integrar \operatorname{sec} t. Vou mostrar um truque padrão para obter a primitiva de \operatorname{sec} t. Multiplicamos por \dfrac{\operatorname{sec} t+\tan t}{\operatorname{sec} t+\tan t} e reescrevemos:
Note que o numerador é \operatorname{sec} t(\operatorname{sec} t+\tan t)=\operatorname{sec}^2 t+\operatorname{sec} t\tan t, que é justamente a derivada de \operatorname{sec} t+\tan t porque
\frac{d}{dt}(\operatorname{sec} t+\tan t)=\operatorname{sec} t\tan t+\operatorname{sec}^2 t.
Logo podemos fazer a substituição u=\operatorname{sec} t+\tan t, que dá du=(\operatorname{sec}^2 t+\operatorname{sec} t\tan t)\,dt. Assim