Pergunta a responder: calcular a área da superfície obtida ao girar essa curva ao redor do eixo \,y.
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula correta (essa é a peça-chave que você precisa saber na prova): para uma curva paramétrica (x(t),y(t)) com t\in[a,b] que gira em torno do eixo y, a área da superfície é
S = 2\pi \int_{a}^{b} x(t)\,\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}\;dt.
Explicando devagar: x(t) é a distância radial ao eixo y (raio da rotação) e \sqrt{(x')^{2}+(y')^{2}} é o comprimento do pequeno segmento de curva (o elemento de arco) para o parâmetro t. Multiplicando 2\pi vezes x vezes o comprimento do pequeno segmento obtemos a área do “cintinho” (uma fita) gerado por esse segmento; integrar dá a superfície total.
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula à nossa curva. Primeiro calculamos as derivadas:
Explicando a ideia: queremos transformar \sqrt{9t^{2}+4} em algo do tipo 2\operatorname{sec}\theta, porque \sqrt{1+\tan^{2}\theta}=\operatorname{sec}\theta. Com essa mudança,
No limite inferior \theta=0 todos os termos (exceto o logaritmo) anulam e \ln(\sec0+\tan0)=\ln 1=0. Substituindo \operatorname{sec}\alpha e \tan\alpha na expressão da primitiva e multiplicando pelo fator \tfrac{64}{243} (do Passo 6) obtemos, após simplificação algébrica detalhada, o valor da integral I:
Isso é uma forma fechada, exata e adequada para a prova. Dá para conferir numericamente: o valor dá aproximadamente 4{,}05, coerente com a estimativa rápida.