Encontre a área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo indicado:
x=t^{3}, y=t^{2}, 0 \leq t \leq 1, eixo y

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície gerada pela rotação da curva paramétrica
x=t^{3},\qquad y=t^{2},\qquad 0\le t\le 1
em torno do eixo \,y. Informações relevantes que já temos:
\text{curva paramétrica: }(x(t),y(t))=(t^{3},t^{2}),\quad t\in[0,1].é
\text{eixo de rotação: eixo }y.çã
Pergunta a responder: calcular a área da superfície obtida ao girar essa curva ao redor do eixo \,y.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula correta (essa é a peça-chave que você precisa saber na prova): para uma curva paramétrica (x(t),y(t)) com t\in[a,b] que gira em torno do eixo y, a área da superfície é
S = 2\pi \int_{a}^{b} x(t)\,\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}\;dt.
Explicando devagar: x(t) é a distância radial ao eixo y (raio da rotação) e \sqrt{(x')^{2}+(y')^{2}} é o comprimento do pequeno segmento de curva (o elemento de arco) para o parâmetro t. Multiplicando 2\pi vezes x vezes o comprimento do pequeno segmento obtemos a área do “cintinho” (uma fita) gerado por esse segmento; integrar dá a superfície total.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula à nossa curva. Primeiro calculamos as derivadas:
x'(t)=\frac{d}{dt}(t^{3})=3t^{2},\qquad y'(t)=\frac{d}{dt}(t^{2})=2t.
Então o fator dentro da raiz é
\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}=(3t^{2})^{2}+(2t)^{2}=9t^{4}+4t^{2}=t^{2}(9t^{2}+4).
Como t\ge0 no intervalo dado, temos
\sqrt{9t^{4}+4t^{2}}=\sqrt{t^{2}(9t^{2}+4)}=t\sqrt{9t^{2}+4}.
Portanto o integrando se simplifica.

Passo 4

Substituindo tudo na fórmula:
S = 2\pi \int_{0}^{1} x(t)\,\sqrt{(x')^{2}+(y')^{2}}\;dt =2\pi\int_{0}^{1} t^{3}\cdot t\sqrt{9t^{2}+4}\;dt =2\pi\int_{0}^{1} t^{4}\sqrt{9t^{2}+4}\;dt.
Chamemos a integral interna de
I=\int_{0}^{1} t^{4}\sqrt{9t^{2}+4}\;dt,
então S=2\pi I. Nosso trabalho agora é calcular I.

Passo 5

Uma substituição trigonométrica limpa essa raiz quadrada. Tomamos
3t=2\tan\theta \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{2}{3}\tan\theta.
Explicando a ideia: queremos transformar \sqrt{9t^{2}+4} em algo do tipo 2\operatorname{sec}\theta, porque \sqrt{1+\tan^{2}\theta}=\operatorname{sec}\theta. Com essa mudança,
\sqrt{9t^{2}+4}=\sqrt{4\tan^{2}\theta+4}=2\operatorname{sec}\theta,
e
dt=\frac{2}{3}\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Os limites: quando t=0 temos \theta=0; quando t=1, \tan\theta=\tfrac{3}{2}, logo \theta=\arctan\!\tfrac{3}{2}. Substituindo tudo em I:

Passo 6

Substituição direta:
t^{4}=\left(\frac{2}{3}\right)^{4}\tan^{4}\theta,\qquad \sqrt{9t^{2}+4}=2\operatorname{sec}\theta,\qquad dt=\frac{2}{3}\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Multiplicando os fatores:
t^{4}\sqrt{9t^{2}+4}\,dt =\left(\frac{2}{3}\right)^{4}\tan^{4}\theta\cdot 2\operatorname{sec}\theta\cdot\frac{2}{3}\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta =\frac{64}{243}\,\tan^{4}\theta\,\operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta.
Logo
I=\frac{64}{243}\int_{0}^{\arctan(3/2)}\tan^{4}\theta\,\operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta.
Agora vamos simplificar \tan^{4}\theta usando \tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta-1:
\tan^{4}\theta=(\operatorname{sec}^{2}\theta-1)^{2}=\operatorname{sec}^{4}\theta-2\operatorname{sec}^{2}\theta+1.
Então o integrando vira
\tan^{4}\theta\,\operatorname{sec}^{3}\theta =\bigl(\operatorname{sec}^{4}\theta-2\operatorname{sec}^{2}\theta+1\bigr)\operatorname{sec}^{3}\theta =\operatorname{sec}^{7}\theta-2\operatorname{sec}^{5}\theta+\operatorname{sec}^{3}\theta.

Passo 7

Precisamos integrar potências de \operatorname{sec}\theta. Há uma fórmula de redução útil:
\int \operatorname{sec}^{n}\theta\,d\theta =\frac{\operatorname{sec}^{n-2}\theta\tan\theta}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int\operatorname{sec}^{n-2}\theta\,d\theta.
Usando essa fórmula obtém-se, passo a passo,
\int\operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta=\tfrac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta+\tfrac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr|+C,
\int\operatorname{sec}^{5}\theta\,d\theta=\tfrac{1}{4}\operatorname{sec}^{3}\theta\tan\theta+\tfrac{3}{8}\operatorname{sec}\theta\tan\theta+\tfrac{3}{8}\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr|+C,
\int\operatorname{sec}^{7}\theta\,d\theta=\tfrac{1}{6}\operatorname{sec}^{5}\theta\tan\theta+\tfrac{5}{24}\operatorname{sec}^{3}\theta\tan\theta+\tfrac{5}{16}\operatorname{sec}\theta\tan\theta+\tfrac{5}{16}\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr|+C.
Portanto a combinação que precisamos integra é
\int\bigl(\operatorname{sec}^{7}\theta-2\operatorname{sec}^{5}\theta+\operatorname{sec}^{3}\theta\bigr)d\theta =\tfrac{1}{6}\operatorname{sec}^{5}\theta\tan\theta-\tfrac{7}{24}\operatorname{sec}^{3}\theta\tan\theta+\tfrac{1}{16}\operatorname{sec}\theta\tan\theta+\tfrac{1}{16}\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr|+C.

Passo 8

Agora avaliamos a primitiva entre 0 e \alpha=\arctan\!\tfrac{3}{2}. Para \theta=\alpha temos
\tan\alpha=\tfrac{3}{2},\qquad \operatorname{sec}\alpha=\sqrt{1+\tan^{2}\alpha}=\sqrt{1+\tfrac{9}{4}}=\tfrac{\sqrt{13}}{2}.
No limite inferior \theta=0 todos os termos (exceto o logaritmo) anulam e \ln(\sec0+\tan0)=\ln 1=0. Substituindo \operatorname{sec}\alpha e \tan\alpha na expressão da primitiva e multiplicando pelo fator \tfrac{64}{243} (do Passo 6) obtemos, após simplificação algébrica detalhada, o valor da integral I:
I=\frac{14\sqrt{13}}{81}+\frac{4}{243}\ln\!\left(\frac{\sqrt{13}+3}{2}\right).
Se quiser checar numericamente: essa I vale aproximadamente 0{,}6431, e isso faz sentido com uma rápida estimação numérica.

Passo 9

Voltando à área S=2\pi I, multiplicamos por 2\pi e simplificamos constantes:
S=2\pi\left(\frac{14\sqrt{13}}{81}+\frac{4}{243}\ln\!\left(\frac{\sqrt{13}+3}{2}\right)\right) =\frac{28\pi}{81}\sqrt{13}+\frac{8\pi}{243}\ln\!\left(\frac{\sqrt{13}+3}{2}\right).
Isso é uma forma fechada, exata e adequada para a prova. Dá para conferir numericamente: o valor dá aproximadamente 4{,}05, coerente com a estimativa rápida.

Resposta

S=\frac{28\pi}{81}\sqrt{13}+\frac{8\pi}{243}\ln\!\left(\frac{\sqrt{13}+3}{2}\right)

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