Calcule o comprimento do arco da hélice circular parametrizada por
do ponto
ao ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o comprimento do arco de uma hélice circular definida pela função vetorial . A gente quer saber esse comprimento desde o ponto
até
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco de uma curva parametrizada, que envolve derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os valores de
que correspondem aos pontos dados. A função
nos dá a posição na hélice para cada valor de
.
-
Para o ponto
: Então,. -
Para o ponto
: Mas como queremos, temos: Então,.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da função vetorial
, que nos dará a velocidade do ponto na hélice. A derivada é:
Passo 4
O comprimento do arco
de
a
é dado pela integral da norma da derivada:
Vamos calcular
:
Sabemos que , então:
Isso simplifica a integral:
Resposta
O comprimento do arco da hélice é
unidades.