Calcule o comprimento do arco da hélice circular parametrizada por
r(t)=cos t i+sen t j+4 t k
do ponto (1,0,0) ao ponto (1,0,8 pi).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o comprimento do arco de uma hélice circular definida pela função vetorial . A gente quer saber esse comprimento desde o ponto até . Para resolver isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco de uma curva parametrizada, que envolve derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os valores de cos t = 1 Rightarrow t = 0 que correspondem aos pontos dados. A função sen t = 0 Rightarrow t = 0 nos dá a posição na hélice para cada valor de 4t = 0 Rightarrow t = 0 .
  • Para o ponto cos t = 1 Rightarrow t = 2pi k (k in Z) :
    4t = 8pi Rightarrow t = 2pi
    Então, .
  • Para o ponto :
    Mas como queremos , temos:
    Então, .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da função vetorial r,'(t) = ddt [cos t, i + sen t, j + 4t, k] = -sen t, i + cos t, j + 4, k , que nos dará a velocidade do ponto na hélice. A derivada é:

Passo 4

O comprimento do arco S = integralt0^t1 |r,'(t)|, dt de |r,'(t)| = raiz(-sen t)^2 + (cos t)^2 + 4^2 = raizsen^2 t + cos^2 t + 16 a |r,'(t)| = raiz1 + 16 = raiz17 é dado pela integral da norma da derivada:
S = integral0^2pi raiz17, dt = raiz17 integral0^2pi dt = raiz17 cdot (2pi - 0) = 2pi raiz17
Vamos calcular :
Sabemos que , então:
Isso simplifica a integral:

Resposta

O comprimento do arco da hélice é unidades.

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