Seja a parábola y=x^2.
Encontre a curvatura nos pontos (0,0),(3,9) e (-4,16).

Passo 1

O enunciado pede a curvatura da parábola y = x^{2} em três pontos específicos. Vamos usar o conteúdo de geometria diferencial de curvas planas, em que sabemos que para um gráfico y = f(x) precisamos das derivadas primeira e segunda para aplicar a fórmula da curvatura.

Passo 2

Calcule as derivadas de y = x^{2}: primeiro y’ = 2x e depois y’’ = 2. A fórmula da curvatura para um gráfico y = f(x) é
kappa(x) = |y''|l(1 + (y')^2r)^3/2 = 2(1 + 4x^2)^3/2

Passo 3

Avalie a curvatura em x = 0 substituindo na expressão geral:
kappa(0) = 2(1 + 4cdot0^2)^3/2 = 2

Passo 4

Avalie a curvatura em x = 3:
kappa(3) = 2(1 + 4cdot3^2)^3/2 = 2(1 + 36)^3/2 = 237^3/2

Passo 5

Avalie a curvatura em x = -4:
kappa(-4) = 2(1 + 4cdot(-4)^2)^3/2 = 2(1 + 64)^3/2 = 265^3/2

Resposta

As curvaturas são κ(0,0)=2, κ(3,9)=2/37^{3/2} e κ(-4,16)=2/65^{3/2}.

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