Calcule o comprimento da aresta da célula unitária em \mu \mathrm{m}, para uma liga 85 \% \mathrm{mFe}-15 \% \mathrm{mV}. Todo o vanádio está em solução sólida e, à temperatura ambiente, a estrutura cristalina para essa liga é CCC. Dados: Massa atômica do Fe= 55,85 g/mol e V=50,94 g/mol; densidades Fe= 7,87 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} \vee=6,10 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, \mathrm{~N}=6,022 \times 10^{23} \mathrm{~mol} / átomos.
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado pede o parâmetro de rede a em \mu\mathrm{m} de uma liga com 85\% em massa de Fe e 15\% em massa de V, que cristaliza em CCC (bcc) à temperatura ambiente. Vamos usar:
– A célula bcc tem 2 átomos por cela.
– A densidade da liga pode ser obtida por aditividade de volumes:
\frac{1}{\rho_{\rm liga}} = \frac{w_{\rm Fe}}{\rho_{\rm Fe}} + \frac{w_{\rm V}}{\rho_{\rm V}}.
– A massa da cela é
m_{\rm cela} = \frac{2}{N_A}\bigl(x_{\rm Fe}M_{\rm Fe}+x_{\rm V}M_{\rm V}\bigr),
onde x_i são as frações atômicas.
– O volume da cela é V_{\rm cela}=m_{\rm cela}/\rho_{\rm liga} e a=V_{\rm cela}^{1/3}.

Passo 2

Calcular a densidade da liga por volumes aditivos.
\frac{1}{\rho_{\rm liga}} = \frac{0,85}{7,87} + \frac{0,15}{6,10} =0,1080+0,0246 =0,1326\quad\bigl[\mathrm{cm}^3/\mathrm{g}\bigr]
Logo,
\rho_{\rm liga} = \frac{1}{0,1326} =7,538\;\mathrm{g/cm^3}.

Passo 3

Determinar as frações atômicas a partir das frações em massa. Primeiro as quantidades molares relativas:
n_{\rm Fe}\propto\frac{0,85}{55,85} =0,01522, \quad n_{\rm V}\propto\frac{0,15}{50,94} =0,002945.
A soma é 0,018165, então
x_{\rm Fe} =\frac{0,01522}{0,018165} =0,8378, \quad x_{\rm V} =1-x_{\rm Fe} =0,1622.

Passo 4

Calcular a massa da cela bcc de 2 átomos:
m_{\rm cela} = \frac{2}{N_A}\bigl(x_{\rm Fe}M_{\rm Fe}+x_{\rm V}M_{\rm V}\bigr) = \frac{2}{6{,}022\times10^{23}} \bigl(0,8378\cdot55{,}85+0,1622\cdot50{,}94\bigr)\;\mathrm{g}.
Dentro do parêntese fica 55{,}079,\mathrm{g/mol}), logo
m_{\rm cela} = \frac{2\cdot55{,}079}{6{,}022\times10^{23}} =1{,}8289\times10^{-22}\;\mathrm{g}.

Passo 5

Volume da cela e parâmetro de rede:
V_{\rm cela} = \frac{m_{\rm cela}}{\rho_{\rm liga}} = \frac{1{,}8289\times10^{-22}}{7{,}538} =2{,}4266\times10^{-23}\;\mathrm{cm^3}.
a = \bigl(V_{\rm cela}\bigr)^{1/3} = \bigl(2{,}4266\times10^{-23}\bigr)^{1/3} =2{,}893\times10^{-8}\;\mathrm{cm} =2{,}893\times10^{-4}\;\mu\mathrm{m}.

Resposta

a = 2{,}893\times10^{-4}\;\mu\mathrm{m}.

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