Calcule o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos itens abaixo:
.
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
onde
é uma constante real (valor fixo, não dependente de
). A pergunta é: calcular o comprimento do caminho percorrido pela partícula ao longo dessa curva no intervalo de tempo dado.
Informações relevantes que temos:
- A função vetor
tem três componentes: a componente , a componente e a componente . - O intervalo de parâmetros é
. - Deve-se calcular o comprimento da curva (o “comprimento do caminho”) percorrido quando
varia de a .
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas e práticas).
- Para uma curva suave
a parametrização por , o comprimento da curva entre e é dado por
- Aqui
é a derivada vetorial de em relação a , tomada componente a componente. Se , então . - A norma (comprimento) de um vetor em
é
Explicando em palavras: a velocidade instantânea da partícula é
; somando (integrando) essa velocidade ao longo do tempo obtemos o comprimento total percorrido.
Passo 3
Calcular a derivada
componente a componente. Usando regras básicas de derivação:
-
. -
. -
(derivada da constante é , e da é ).
Portanto,
Passo 4
Calcular a norma
. Primeiro o quadrado da norma:
Usando a identidade trigonométrica fundamental
, obtemos
Como a norma é a raiz quadrada do quadrado,
Observação: a velocidade é constante e igual a
ao longo de todo o percurso — isso simplifica muito a integral do comprimento.
Passo 5
Calcular o comprimento pela integral da velocidade constante:
Como
é constante, a integral é simplesmente
multiplicado pelo comprimento do intervalo
: