Calcule o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos itens abaixo:
\alpha(t)=(\sin t, t, a-\cos t), 0 \leq t \leq 2 \pi.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
\alpha(t)=(\sin t,\; t,\; a-\cos t), \qquad 0 \le t \le 2\pi,
onde a é uma constante real (valor fixo, não dependente de t). A pergunta é: calcular o comprimento do caminho percorrido pela partícula ao longo dessa curva no intervalo de tempo dado.
Informações relevantes que temos:
  • A função vetor \alpha tem três componentes: a componente x(t)=\sin t, a componente y(t)=t e a componente z(t)=a-\cos t.
  • O intervalo de parâmetros é [0,2\pi].
  • Deve-se calcular o comprimento da curva (o “comprimento do caminho”) percorrido quando t varia de 0 a 2\pi.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas e práticas).
  • Para uma curva suave \alpha:[t_0,t_1]\to\mathbb{R}^3 a parametrização por t, o comprimento L da curva entre t=t_0 e t=t_1 é dado por
L=\int_{t_0}^{t_1}\|\alpha'(t)\|\,dt.
  • Aqui \alpha'(t) é a derivada vetorial de \alpha em relação a t, tomada componente a componente. Se \alpha(t)=(x(t),y(t),z(t)), então \alpha'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)).
  • A norma (comprimento) de um vetor em \mathbb{R}^3 é
\|(u,v,w)\|=\sqrt{u^2+v^2+w^2}.
Explicando em palavras: a velocidade instantânea da partícula é \|\alpha'(t)\|; somando (integrando) essa velocidade ao longo do tempo obtemos o comprimento total percorrido.

Passo 3

Calcular a derivada \alpha'(t) componente a componente. Usando regras básicas de derivação:
  • \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t.
  • \dfrac{d}{dt}t=1.
  • \dfrac{d}{dt}(a-\cos t)=0-\bigl(-\sin t\bigr)=\sin t (derivada da constante a é 0, e da -\cos t é \sin t).
Portanto,
\alpha'(t)=(\cos t,\; 1,\; \sin t).

Passo 4

Calcular a norma \|\alpha'(t)\|. Primeiro o quadrado da norma:
\|\alpha'(t)\|^2=\cos^2 t + 1^2 + \sin^2 t.
Usando a identidade trigonométrica fundamental \sin^2 t+\cos^2 t=1, obtemos
\|\alpha'(t)\|^2 = 1 + 1 = 2.
Como a norma é a raiz quadrada do quadrado,
\|\alpha'(t)\|=\sqrt{2}.
Observação: a velocidade é constante e igual a \sqrt{2} ao longo de todo o percurso — isso simplifica muito a integral do comprimento.

Passo 5

Calcular o comprimento pela integral da velocidade constante:
L=\int_{0}^{2\pi}\|\alpha'(t)\|\,dt=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{2}\,dt.
Como \sqrt{2} é constante, a integral é simplesmente \sqrt{2} multiplicado pelo comprimento do intervalo 2\pi-0=2\pi:
L=\sqrt{2}\cdot(2\pi)=2\pi\sqrt{2}.

Resposta

\;2\pi\sqrt{2}

Exercícios relacionados