Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma função de classe C^{\infty}, isto é, as derivadas existem em todas as ordens e são todas contínuas.
a) Parametrize a curva descrita pelo gráfico da função f e mostre que a curva é regular.
b) Calcule o vetor velocidade e ache a reta tangente no ponto ( x, f(x) ). Compare com o que você sabe de cálculo I.
c) Ache uma fórmula para o comprimento de arco de t=a até t=b
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
Está dada uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{3} de classe C^{\infty}. Vou escrever as componentes de f como
onde cada f_{i}:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é C^{\infty}.
O enunciado pede três coisas:
(a) parametrizar a curva descrita pelo gráfico de f e mostrar que a curva é regular;
(b) calcular o vetor velocidade e achar a reta tangente no ponto (x,f(x)); comparar com o que se aprende em Cálculo I;
(c) dar uma fórmula para o comprimento de arco de t=a até t=b.
Observação útil para memória: o “gráfico” de f é o conjunto de pares (t,f(t)). Como t\in\mathbb{R} e f(t)\in\mathbb{R}^{3}, o gráfico vive em \mathbb{R}\times\mathbb{R}^{3}\cong\mathbb{R}^{4}. A parametrização natural vem daí.
Passo 2
Parametrização do gráfico (resposta à parte a).
A parametrização natural da curva (o gráfico) é a aplicação
Por que isso parametriza o gráfico? Porque o gráfico é exatamente \{(t,f(t))\mid t\in\mathbb{R}\}, e \gamma atinge todos esses pontos à medida que t varia.
Passo 3
Mostrar que a curva é regular (continuação da parte a).
Definição prática: uma curva parametrizada \gamma(t) é regular em t se \gamma'(t)\neq 0 (o vetor derivada não é o vetor nulo).
Como f é C^{\infty}, cada f_{i} é C^{\infty}, logo \gamma é C^{\infty} e tem derivada componente a componente. Calculando,
Esse valor é maior ou igual a 1, portanto nunca é zero. Logo \gamma'(t)\neq 0 para todo t. Conclusão: a curva é regular para todos os t.
Comentário amigável: intuitivamente a componente t na parametrização dá sempre uma “direção” no eixo t, então a derivada nunca some — por isso é fácil mostrar regularidade.
Passo 4
Vetor velocidade (parte b, primeira parte).
O vetor velocidade da curva em parâmetro t é simplesmente \gamma'(t). Já calculamos:
Interpretação: a componente 1 corresponde à taxa de variação do primeiro componente (que é t — a identidade), e f'(t) é o vetor de derivadas das três componentes de f. Em linguagem física, a curva em \mathbb{R}^{4} tem velocidade cujo “componente temporal” é 1 e cujas componentes espaciais são f'(t).
Passo 5
Reta tangente no ponto (x,f(x)) (parte b, segunda parte) e comparação com Cálculo I.
A reta tangente à curva parametrizada \gamma no ponto t=x é a reta que passa por \gamma(x)=(x,f(x)) com direção \gamma'(x)=(1,f'(x)). Assim sua equação vetorial parametrizada é
L(s)=\bigl(x+s,\; f_{1}(x) + s f_{1}'(x),\; f_{2}(x) + s f_{2}'(x),\; f_{3}(x) + s f_{3}'(x)\bigr).
Comparação com Cálculo I (caso familiar): se f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} (função real de uma variável), o gráfico está em \mathbb{R}^{2} e a parametrização é \gamma(t)=(t,f(t)). A derivada é \gamma'(t)=(1,f'(t)) e a reta tangente em t=x dá, projetando nas duas primeiras coordenadas,
y = f(x) + f'(x)\bigl(t - x\bigr),
que é exatamente a equação de reta tangente que se estuda em Cálculo I (com “declive” f'(x)). Portanto é a mesma ideia: aqui temos a versão em dimensões superiores, com direção dada pelo vetor (1,f'(x)) em vez de apenas pelo número f'(x).
Passo 6
Fórmula do comprimento de arco entre t=a e t=b (parte c).
Fórmula geral: o comprimento de arco da curva \gamma de t=a até t=b é
Observação prática: se cada f_{i}' for contínua (aqui são C^{\infty}), o integrando é contínuo e não-negativo, então o integral está bem definido (pode ser finito ou infinito dependendo do comportamento, mas normalmente em problemas de prova ele é finito).
Passo 7
Exemplo concreto para fixar a ideia (opcional, mas didático).
Tomemos f(t)=\bigl(\cos t,\;\sin t,\;0\bigr). Então
Assim \bigl\|\gamma'(t)\bigr\|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2} e o comprimento de a a b é
S=\int_{a}^{b}\sqrt{2}\,dt=\sqrt{2}\,(b-a).
Esse cálculo mostra como a fórmula \sqrt{1+\|f'(t)\|^{2}} funciona na prática e confirma que, quando f desliza com rapidez unitária nas componentes, o comprimento cresce linearmente.
Resposta
(a) \gamma(t)=\bigl(t,\,f(t)\bigr)=\bigl(t,f_{1}(t),f_{2}(t),f_{3}(t)\bigr). A curva é regular porque \gamma'(t)=\bigl(1,f'(t)\bigr) e \bigl\|\gamma'(t)\bigr\|^{2}=1+\|f'(t)\|^{2}\ge1>0 para todo t.
(b) Vetor velocidade: \gamma'(t)=\bigl(1,f'(t)\bigr)=\bigl(1,f_{1}'(t),f_{2}'(t),f_{3}'(t)\bigr). Reta tangente em (x,f(x)):