Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma função de classe C^{\infty}, isto é, as derivadas existem em todas as ordens e são todas contínuas.
a) Parametrize a curva descrita pelo gráfico da função f e mostre que a curva é regular.
b) Calcule o vetor velocidade e ache a reta tangente no ponto ( x, f(x) ). Compare com o que você sabe de cálculo I.
c) Ache uma fórmula para o comprimento de arco de t=a até t=b

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Está dada uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{3} de classe C^{\infty}. Vou escrever as componentes de f como
f(t) = \bigl(f_{1}(t),\,f_{2}(t),\,f_{3}(t)\bigr),
onde cada f_{i}:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é C^{\infty}.
  • O enunciado pede três coisas:
    (a) parametrizar a curva descrita pelo gráfico de f e mostrar que a curva é regular;
    (b) calcular o vetor velocidade e achar a reta tangente no ponto (x,f(x)); comparar com o que se aprende em Cálculo I;
    (c) dar uma fórmula para o comprimento de arco de t=a até t=b.
Observação útil para memória: o “gráfico” de f é o conjunto de pares (t,f(t)). Como t\in\mathbb{R} e f(t)\in\mathbb{R}^{3}, o gráfico vive em \mathbb{R}\times\mathbb{R}^{3}\cong\mathbb{R}^{4}. A parametrização natural vem daí.

Passo 2

Parametrização do gráfico (resposta à parte a).
  • A parametrização natural da curva (o gráfico) é a aplicação
\gamma:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{4},\qquad \gamma(t)=\bigl(t,\,f(t)\bigr).
Aqui, em coordenadas,
\gamma(t)=\bigl(t,\,f_{1}(t),\,f_{2}(t),\,f_{3}(t)\bigr).
  • Por que isso parametriza o gráfico? Porque o gráfico é exatamente \{(t,f(t))\mid t\in\mathbb{R}\}, e \gamma atinge todos esses pontos à medida que t varia.

Passo 3

Mostrar que a curva é regular (continuação da parte a).
  • Definição prática: uma curva parametrizada \gamma(t) é regular em t se \gamma'(t)\neq 0 (o vetor derivada não é o vetor nulo).
  • Como f é C^{\infty}, cada f_{i} é C^{\infty}, logo \gamma é C^{\infty} e tem derivada componente a componente. Calculando,
\gamma'(t)=\bigl(1,\,f_{1}'(t),\,f_{2}'(t),\,f_{3}'(t)\bigr) = \bigl(1,\,f'(t)\bigr),
onde f'(t)=(f_{1}'(t),f_{2}'(t),f_{3}'(t))\in\mathbb{R}^{3}.
  • O comprimento ao quadrado de \gamma'(t) em \mathbb{R}^{4} é
\bigl\|\gamma'(t)\bigr\|^{2} = 1^{2} + \bigl\|f'(t)\bigr\|^{2} = 1 + \bigl(f_{1}'(t)\bigr)^{2} + \bigl(f_{2}'(t)\bigr)^{2} + \bigl(f_{3}'(t)\bigr)^{2}.
  • Esse valor é maior ou igual a 1, portanto nunca é zero. Logo \gamma'(t)\neq 0 para todo t. Conclusão: a curva é regular para todos os t.
Comentário amigável: intuitivamente a componente t na parametrização dá sempre uma “direção” no eixo t, então a derivada nunca some — por isso é fácil mostrar regularidade.

Passo 4

Vetor velocidade (parte b, primeira parte).
  • O vetor velocidade da curva em parâmetro t é simplesmente \gamma'(t). Já calculamos:
\gamma'(t)=\bigl(1,\,f'(t)\bigr)=\bigl(1,\,f_{1}'(t),\,f_{2}'(t),\,f_{3}'(t)\bigr).
  • Interpretação: a componente 1 corresponde à taxa de variação do primeiro componente (que é t — a identidade), e f'(t) é o vetor de derivadas das três componentes de f. Em linguagem física, a curva em \mathbb{R}^{4} tem velocidade cujo “componente temporal” é 1 e cujas componentes espaciais são f'(t).

Passo 5

Reta tangente no ponto (x,f(x)) (parte b, segunda parte) e comparação com Cálculo I.
  • A reta tangente à curva parametrizada \gamma no ponto t=x é a reta que passa por \gamma(x)=(x,f(x)) com direção \gamma'(x)=(1,f'(x)). Assim sua equação vetorial parametrizada é
L(s) = \bigl(x,\,f(x)\bigr) + s\bigl(1,\,f'(x)\bigr),\qquad s\in\mathbb{R}.
  • Escrevendo coordenada a coordenada:
L(s)=\bigl(x+s,\; f_{1}(x) + s f_{1}'(x),\; f_{2}(x) + s f_{2}'(x),\; f_{3}(x) + s f_{3}'(x)\bigr).
  • Comparação com Cálculo I (caso familiar): se f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} (função real de uma variável), o gráfico está em \mathbb{R}^{2} e a parametrização é \gamma(t)=(t,f(t)). A derivada é \gamma'(t)=(1,f'(t)) e a reta tangente em t=x dá, projetando nas duas primeiras coordenadas,
y = f(x) + f'(x)\bigl(t - x\bigr),
que é exatamente a equação de reta tangente que se estuda em Cálculo I (com “declive” f'(x)). Portanto é a mesma ideia: aqui temos a versão em dimensões superiores, com direção dada pelo vetor (1,f'(x)) em vez de apenas pelo número f'(x).

Passo 6

Fórmula do comprimento de arco entre t=a e t=b (parte c).
  • Fórmula geral: o comprimento de arco da curva \gamma de t=a até t=b é
S=\int_{a}^{b}\bigl\|\gamma'(t)\bigr\|\,dt.
  • Já sabemos \gamma'(t)=(1,f'(t)). Então
\bigl\|\gamma'(t)\bigr\| = \sqrt{\,1 + \bigl\|f'(t)\bigr\|^{2}\,}.
Aqui \bigl\|f'(t)\bigr\|^{2} = \bigl(f_{1}'(t)\bigr)^{2}+\bigl(f_{2}'(t)\bigr)^{2}+\bigl(f_{3}'(t)\bigr)^{2}.
  • Portanto a fórmula do comprimento é
S=\int_{a}^{b}\sqrt{\,1 + \bigl(f_{1}'(t)\bigr)^{2}+\bigl(f_{2}'(t)\bigr)^{2}+\bigl(f_{3}'(t)\bigr)^{2}\,}\;dt
ou, de forma mais compacta,
S=\int_{a}^{b}\sqrt{\,1 + \bigl\|f'(t)\bigr\|^{2}\,}\;dt.
  • Observação prática: se cada f_{i}' for contínua (aqui são C^{\infty}), o integrando é contínuo e não-negativo, então o integral está bem definido (pode ser finito ou infinito dependendo do comportamento, mas normalmente em problemas de prova ele é finito).

Passo 7

Exemplo concreto para fixar a ideia (opcional, mas didático).
  • Tomemos f(t)=\bigl(\cos t,\;\sin t,\;0\bigr). Então
f'(t)=\bigl(-\sin t,\;\cos t,\;0\bigr),\qquad \bigl\|f'(t)\bigr\|^{2}=(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}+0^{2}=1.
  • Assim \bigl\|\gamma'(t)\bigr\|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2} e o comprimento de a a b é
S=\int_{a}^{b}\sqrt{2}\,dt=\sqrt{2}\,(b-a).
  • Esse cálculo mostra como a fórmula \sqrt{1+\|f'(t)\|^{2}} funciona na prática e confirma que, quando f desliza com rapidez unitária nas componentes, o comprimento cresce linearmente.

Resposta

(a) \gamma(t)=\bigl(t,\,f(t)\bigr)=\bigl(t,f_{1}(t),f_{2}(t),f_{3}(t)\bigr). A curva é regular porque \gamma'(t)=\bigl(1,f'(t)\bigr) e \bigl\|\gamma'(t)\bigr\|^{2}=1+\|f'(t)\|^{2}\ge1>0 para todo t.
(b) Vetor velocidade: \gamma'(t)=\bigl(1,f'(t)\bigr)=\bigl(1,f_{1}'(t),f_{2}'(t),f_{3}'(t)\bigr). Reta tangente em (x,f(x)):
L(s)=\bigl(x,f(x)\bigr)+s\bigl(1,f'(x)\bigr),\quad s\in\mathbb{R}.
Projetando para o caso escalar f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} obtém-se y=f(x)+f'(x)(t-x), que é a fórmula de Cálculo I.
(c) Comprimento de arco de t=a até t=b:
S=\int_{a}^{b}\bigl\|\gamma'(t)\bigr\|\,dt=\int_{a}^{b}\sqrt{\,1+\bigl\|f'(t)\bigr\|^{2}\,}\;dt =\int_{a}^{b}\sqrt{\,1+\bigl(f_{1}'(t)\bigr)^{2}+\bigl(f_{2}'(t)\bigr)^{2}+\bigl(f_{3}'(t)\bigr)^{2}\,}\;dt.

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