Calcule o comprimento da curva Hipociclóide dada pela equação paramétrica x = 2 * sen^3(t) e y = 2 * Cos(t)^3.

Passo 1

Então, temos que calcular o comprimento da curva chamada Hipociclóide, que está descrita pelas equações paramétricas e . Para resolver isso, vamos usar cálculo de integrais, especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva paramétrica. Se temos e , o comprimento da curva de até é dado por:
Essa fórmula basicamente soma todas as pequenas distâncias ao longo da curva.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de e em relação a :
Essas derivadas mostram como e mudam conforme varia.

Passo 4

Substituindo as derivadas na fórmula do comprimento:
Simplificando dentro da raiz:
Como :

Passo 5

Observando que , podemos simplificar a integral:
Sabemos que o valor da integral de de 0 a é 4:

Resposta

O comprimento da curva Hipociclóide é unidades.

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