Utilize integral dupla em coordenadas polares para calcular o volume do sólido Acima do cone z = raiz(x^2 + y^2) e abaixo da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando integral dupla em coordenadas polares para encontrar o volume do sólido que está acima do cone e abaixo da esfera . Vamos precisar entender como converter as equações para coordenadas polares e montar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares, e , e .
A equação do cone fica .
A equação da esfera fica .

Passo 3

Vamos encontrar a interseção entre o cone e a esfera para determinar os limites de integração. Substituindo na equação da esfera:
Então, varia de 0 até .

Passo 4

Agora, vamos expressar o volume usando uma integral dupla em coordenadas polares. O volume pode ser calculado como:
Aqui, vem da resolução da equação da esfera para , e vem do cone.

Passo 5

Vamos integrar com relação a primeiro. A integral interna fica:
Vamos resolver essa integral separadamente.

Passo 6

Primeiro, a integral de :
Fazendo a substituição , , então:

Passo 7

Agora, a integral de :

Passo 8

Juntando as duas partes, a integral interna fica:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:

Passo 9

Simplificando os termos:

Passo 10

Agora, voltando à integral externa, multiplicamos pelo :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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