Calcule o comprimento de onda da radiância espectral máxima e identifique a regiào do espectro eletromagnético a que ele pertence em cada um dos seguintes casos: (a) A radiação cósmica de fundo, de 2,7 \mathrm{~K}, remanescente da bola de fogo primitiva. (b) O corpo humano, supondo a temperatura da pele igual a 34^{\circ} \mathrm{C}. (c) O filamento de uma lâmpada de tungstênio, a 1.800 K . (d) O Sol, considerando-se a temperatura de sua superfície igual a 5.800 K . (e) A bola de fogo de uma explosâo termonuclear, com a temperatura de 10^{7} \mathrm{~K}. (f) O universo imediatamente após o Big Bang, na suposta temperatura de 10^{38} \mathrm{~K}. Em todos os casos, suponha condições idênticas à da radiação de uma cavidade.

Passo 1

O enunciado pede para calcular, em cada caso, o comprimento de onda \lambda_{\max} da radiância espectral máxima de um corpo negro em equilíbrio térmico e identificar a região do espectro eletromagnético. Para isso usaremos a Lei do Deslocamento de Wien.

Passo 2

A Lei de Wien afirma que
\lambda_{\max}\,T = b
onde b = 2,898\times10^{-3}\,\text{m}\cdot\text{K}. Basta isolar
\lambda_{\max} = \frac{b}{T}.
Em cada caso, convertemos a temperatura para Kelvin, aplicamos a fórmula e então classificamos o resultado na faixa adequada do espectro: micro-ondas, infravermelho, visível, ultravioleta, raios X ou raios γ.

Passo 3

Caso (a): radiação cósmica de fundo, T=2,7 K.
\lambda_{\max} = \frac{2,898\times10^{-3}}{2,7} = 1,07\times10^{-3}\,\text{m}.
Esse comprimento de onda (≈ 1 mm) está na região das micro-ondas.

Passo 4

Caso (b): corpo humano, T=34^\circ\text{C}=307 K.
\lambda_{\max} = \frac{2,898\times10^{-3}}{307} = 9,44\times10^{-6}\,\text{m}.
Isso equivale a 9,44 μm, na região do infravermelho.

Passo 5

Caso (c): filamento de lâmpada de tungstênio, T=1800 K.
\lambda_{\max} = \frac{2,898\times10^{-3}}{1800} = 1,61\times10^{-6}\,\text{m}.
Isso dá 1,61 μm, ainda infravermelho (próximo do visível).

Passo 6

Caso (d): superfície do Sol, T=5800 K.
\lambda_{\max} = \frac{2,898\times10^{-3}}{5800} = 4,99\times10^{-7}\,\text{m}.
O valor ≈ 500 nm cai na região visível (luz verde).

Passo 7

Caso (e): bola de fogo termonuclear, T=10^{7} K.
\lambda_{\max} = \frac{2,898\times10^{-3}}{10^{7}} = 2,90\times10^{-10}\,\text{m}.
Isso equivale a 0,29 nm, na faixa de raios X (duros).

Passo 8

Caso (f): universo logo após o Big Bang, T=10^{38} K.
\lambda_{\max} = \frac{2,898\times10^{-3}}{10^{38}} = 2,90\times10^{-41}\,\text{m}.
Um comprimento de onda tão pequeno está bem além dos raios X, na faixa de raios γ.

Resposta

(a) \lambda_{\max}=1,07\times10^{-3}\,\text{m}, micro-ondas.
(b) \lambda_{\max}=9,44\times10^{-6}\,\text{m}, infravermelho.
(c) \lambda_{\max}=1,61\times10^{-6}\,\text{m}, infravermelho (próximo do visível).
(d) \lambda_{\max}=4,99\times10^{-7}\,\text{m}, visível.
(e) \lambda_{\max}=2,90\times10^{-10}\,\text{m}, raios X.
(f) \lambda_{\max}=2,90\times10^{-41}\,\text{m}, raios γ.

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