Calcule os comprimentos das ondas associadas a:
um elétron, à velocidade de
um elétron, à velocidade de
Passo 1
O enunciado pede: calcular o comprimento de onda associado a um elétron com velocidade
.
Informações e constantes que vamos usar (valores padrão):
- massa do elétron:
. - constante de Planck:
. - velocidade da luz no vácuo:
.
O que será necessário: a relação de De Broglie que liga comprimento de onda e momento, e a forma do momento (clássica e relativística). A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
A relação de De Broglie diz que o comprimento de onda associado a uma partícula é
onde
é o comprimento de onda,
é a constante de Planck e
é o momento linear da partícula.
Explicação do momento
:
- Em regime não relativístico (velocidades muito menores que
), usa-se o momento clássico
onde
é a massa e
a velocidade.
- Em regime relativístico (quando
é comparável a ), o momento é
onde
(fator de Lorentz) é
Observação prática: se
dá para usar
. Se
é próximo de
usa-se a forma relativística.
Passo 3
Vamos comparar a velocidade dada com a velocidade da luz para ver qual fórmula é aplicável. Calcular
Façamos a divisão (apenas rearrumando potências de 10):
Portanto
, isto é,
é muito maior que
.
Passo 4
Interpretação física dessa comparação: a velocidade informada
excede a velocidade da luz
. Segundo a teoria da relatividade, nenhuma partícula com massa de repouso não-nula (como o elétron) pode atingir ou exceder
. Logo, o dado fornecido é fisicamente impossível e NÃO existe um comprimento de onda fisicamente significativo para um elétron com essa velocidade.
Dito de outro modo: não há como aplicar corretamente a fórmula relativística porque o fator
ficaria com raiz quadrada de número negativo, e a situação não tem sentido físico.
Passo 5
Apesar do valor ser não físico, é didaticamente útil mostrar o que ocorreria se alguém insistisse em aplicar a fórmula de Broglie de forma algébrica (classe clássica) ao número dado — isto dá um resultado numérico, porém sem significado físico. Vamos calcular passo a passo (apenas aritmética direta):
Momento clássico (formal):
Multiplicando coeficientes e somando expoentes:
Agora o comprimento de onda (formal, não físico):
Dividindo os coeficientes e ajustando potências:
Reforço: este número é apenas o resultado aritmético da aplicação de
ao valor dado; como
o resultado não corresponde a uma situação física realizável.
Passo 6
Mostro também por que a abordagem relativística falha aqui: o fator
é
Como
(visto em
Passo 7
Comentário prático e sugestão para a prova: é muito comum haver erro de digitação em enunciados. Se a velocidade pretendida fosse, por exemplo,
(dois poderes de 10 a menos), então
e pode-se usar a fórmula clássica com segurança. Repetindo rapidamente os cálculos para esse caso plausível:
Se houver possibilidade de erro de digitação no enunciado, o resultado acima (
) é um comprimento de onda típico (na faixa de angström) para elétrons com velocidades da ordem de
.
Passo 8
Resumo final: o número fornecido para a velocidade é incompatível com a física relativística; portanto não existe comprimento de onda fisicamente válido para esse caso. Abaixo eu coloco as respostas finais de forma direta para conferência.
Resposta
Impossível fisicamente:
, logo não existe comprimento de onda físico para esse dado.
Cálculo formal (não físico) pela relação de Broglie clássica:
Se o valor pretendido fosse (possível digitação correta), então
Cálculo formal (não físico) pela relação de Broglie clássica:
Se o valor pretendido fosse