Calcule os comprimentos das ondas associadas a:
um elétron, à velocidade de 6,00 \times 10^{16} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o comprimento de onda associado a um elétron com velocidade \,v=6{,}00\times10^{16}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}\,.
Informações e constantes que vamos usar (valores padrão):
  • massa do elétron: \,m_e = 9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
  • constante de Planck: \,h = 6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}.
  • velocidade da luz no vácuo: \,c = 2{,}99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
O que será necessário: a relação de De Broglie que liga comprimento de onda e momento, e a forma do momento (clássica e relativística). A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

A relação de De Broglie diz que o comprimento de onda associado a uma partícula é
\lambda=\frac{h}{p},
onde \lambda é o comprimento de onda, h é a constante de Planck e p é o momento linear da partícula.
Explicação do momento p:
  • Em regime não relativístico (velocidades muito menores que c), usa-se o momento clássico
p = m v,
onde m é a massa e v a velocidade.
  • Em regime relativístico (quando v é comparável a c), o momento é
p = \gamma m v,
onde \gamma (fator de Lorentz) é
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Observação prática: se \dfrac{v}{c}\ll1 dá para usar p\approx m v. Se \dfrac{v}{c} é próximo de 1 usa-se a forma relativística.

Passo 3

Vamos comparar a velocidade dada com a velocidade da luz para ver qual fórmula é aplicável. Calcular
\frac{v}{c}=\frac{6{,}00\times10^{16}}{2{,}99792458\times10^{8}}.
Façamos a divisão (apenas rearrumando potências de 10):
\frac{v}{c}\approx\frac{6{,}00}{2{,}99792458}\times10^{16-8} \approx 2{,}000\ldots\times10^{8}.
Portanto \dfrac{v}{c}\approx 2{,}0\times10^{8}, isto é, v é muito maior que c.

Passo 4

Interpretação física dessa comparação: a velocidade informada \,v=6{,}00\times10^{16}\\ \mathrm{m\,s^{-1}} excede a velocidade da luz \,c. Segundo a teoria da relatividade, nenhuma partícula com massa de repouso não-nula (como o elétron) pode atingir ou exceder c. Logo, o dado fornecido é fisicamente impossível e NÃO existe um comprimento de onda fisicamente significativo para um elétron com essa velocidade.
Dito de outro modo: não há como aplicar corretamente a fórmula relativística porque o fator \gamma ficaria com raiz quadrada de número negativo, e a situação não tem sentido físico.

Passo 5

Apesar do valor ser não físico, é didaticamente útil mostrar o que ocorreria se alguém insistisse em aplicar a fórmula de Broglie de forma algébrica (classe clássica) ao número dado — isto dá um resultado numérico, porém sem significado físico. Vamos calcular passo a passo (apenas aritmética direta):
Momento clássico (formal):
p = m_e v = \left(9{,}10938356\times10^{-31}\right)\left(6{,}00\times10^{16}\right)\\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}.
Multiplicando coeficientes e somando expoentes:
p = 9{,}10938356\times6{,}00\times10^{-31+16} =54{,}65630136\times10^{-15} =5{,}465630136\times10^{-14}\\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}.
Agora o comprimento de onda (formal, não físico):
\lambda=\frac{h}{p}=\frac{6{,}62607015\times10^{-34}}{5{,}465630136\times10^{-14}}\\ \mathrm{m}.
Dividindo os coeficientes e ajustando potências:
\lambda\approx1{,}212557\times10^{-20}\\ \mathrm{m}.
Reforço: este número é apenas o resultado aritmético da aplicação de \lambda=h/(mv) ao valor dado; como v>c o resultado não corresponde a uma situação física realizável.

Passo 6

Mostro também por que a abordagem relativística falha aqui: o fator \gamma é
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Como \dfrac{v^{2}}{c^{2}}>1 (visto em

Passo 7

Comentário prático e sugestão para a prova: é muito comum haver erro de digitação em enunciados. Se a velocidade pretendida fosse, por exemplo, \,v=6{,}00\times10^{6}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}\, (dois poderes de 10 a menos), então \dfrac{v}{c}\approx2{,}0\times10^{-2}\ll1 e pode-se usar a fórmula clássica com segurança. Repetindo rapidamente os cálculos para esse caso plausível:
p = m_e v = 9{,}10938356\times10^{-31}\times6{,}00\times10^{6}=5{,}465630136\times10^{-24}\\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}},
\lambda=\frac{h}{p}=\frac{6{,}62607015\times10^{-34}}{5{,}465630136\times10^{-24}}\approx1{,}212557\times10^{-10}\\ \mathrm{m}=1{,}21\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
Se houver possibilidade de erro de digitação no enunciado, o resultado acima ( \approx1{,}21\times10^{-10}\\ \mathrm{m}) é um comprimento de onda típico (na faixa de angström) para elétrons com velocidades da ordem de 10^{6}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.

Passo 8

Resumo final: o número fornecido para a velocidade é incompatível com a física relativística; portanto não existe comprimento de onda fisicamente válido para esse caso. Abaixo eu coloco as respostas finais de forma direta para conferência.

Resposta

Impossível fisicamente: \,v=6{,}00\times10^{16}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}>c=2{,}99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}, logo não existe comprimento de onda físico para esse dado.
Cálculo formal (não físico) pela relação de Broglie clássica: \lambda\approx1{,}21\times10^{-20}\\ \mathrm{m}.
Se o valor pretendido fosse \,v=6{,}00\times10^{6}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}\, (possível digitação correta), então \lambda\approx1{,}21\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.

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