1. (a) Calcule a concentração de equilíbrio de lacunas, por metro cúbico, no alumínio puro a 550^{\circ} \mathrm{C}. Considere que a energia de formação de uma lacuna no alumínio puro é 0,76 eV. (b) Qual é a fração de lacunas a 600^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

O enunciado pede a concentração de lacunas em alumínio puro a uma dada temperatura e a fração de lacunas a outra temperatura. O conteúdo é defeitos puntiformes em sólidos: a concentração de equilíbrio de lacunas satisfaz
n_v = N \exp\Bigl(-\frac{E_f}{k\,T}\Bigr),
onde
N é o número de sítios atômicos por metro cúbico,
E_f é a energia de formação da lacuna,
k é a constante de Boltzmann em eV/K,
T é a temperatura em kelvin.

Passo 2

Calculamos N a partir da densidade \rho e da massa molar M do alumínio:
\rho = 2700\\ \mathrm{kg/m^3},\quad M = 26{,}98\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol}.
O número de mols por metro cúbico é
\frac{\rho}{M} = \frac{2700}{26{,}98\times10^{-3}}\approx1{,}0007\times10^{5}\\ \mathrm{mol/m^3}.
Multiplicando pelo número de Avogadro N_A=6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}},
N = 1{,}0007\times10^{5}\times6{,}022\times10^{23} \approx6{,}03\times10^{28}\\ \mathrm{m^{-3}}.

Passo 3

Para 550^{\circ}\mathrm C temos
T = 550 + 273{,}15 = 823{,}15\\ \mathrm K, \quad E_f = 0{,}76\\ \mathrm{eV}, \quad k = 8{,}617\times10^{-5}\\ \mathrm{eV/K}.
O fator exponencial fica
\exp\Bigl(-\frac{E_f}{kT}\Bigr) = \exp\!\Bigl(-\frac{0{,}76}{8{,}617\times10^{-5}\times823{,}15}\Bigr) \approx \exp(-10{,}72) \approx2{,}21\times10^{-5}.

Passo 4

A concentração de lacunas a 550^{\circ}\mathrm C é
n_v = N \times2{,}21\times10^{-5} \approx6{,}03\times10^{28}\times2{,}21\times10^{-5} \approx1{,}33\times10^{24}\\ \mathrm{m^{-3}}.

Passo 5

Para 600^{\circ}\mathrm C temos
T = 600 + 273{,}15 = 873{,}15\\ \mathrm K,
e o mesmo E_f e k. O fator exponencial agora é
\exp\Bigl(-\frac{0{,}76}{8{,}617\times10^{-5}\times873{,}15}\Bigr) \approx \exp(-10{,}10) \approx4{,}12\times10^{-5}.
Essa quantidade já é a fração de sítios que são lacunas, ou seja,
\frac{n_v}{N}\approx4{,}12\times10^{-5}.

Resposta

(a) n_v \approx1{,}33\times10^{24}\\ \mathrm{m^{-3}}.
(b) fração de lacunas \approx4{,}12\times10^{-5}.

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