Calcule o pH e as concentrações( \mathrm{mol} \mathrm{L}^{-1} ) de todas as espécies presentes em uma solução aquosa 0,01 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} de Glicina. Dados \mathrm{pK}_{\mathrm{a} 1}=2,35 e \mathrm{pK}_{\mathrm{a} 2}=9,77.

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o pH e as concentrações (em mol L^{-1}) de todas as espécies presentes numa solução aquosa de glicina com concentração total 0,01\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}. Os dados fornecidos são:
  • \mathrm{p}K_{a1}=2,35
  • \mathrm{p}K_{a2}=9,77
  • Concentração total de glicina: C=0,01\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
As espécies envolvidas (notação típica para um aminoácido diprótico) são:
  • [\mathrm{H_2A^+}]: forma totalmente protonada (catiônica),
  • [\mathrm{HA}]: forma zwitteriônica (próton no grupo amônio, carboxilato desprotonado),
  • [\mathrm{A^-}]: forma totalmente desprotonada (aniônica),
    e também as espécies do solvente [\mathrm{H^+}] e [\mathrm{OH^-}].
O que se pede:
  • Calcular o pH da solução.
  • Calcular [\mathrm{H_2A^+}], [\mathrm{HA}], [\mathrm{A^-}] (em mol L^{-1}) e, se for pertinente, [\mathrm{H^+}] e [\mathrm{OH^-}].

Passo 2

Vamos escrever as constantes de dissociação ácida e as relações entre as espécies. Para um diprótico com as reações:
\mathrm{H_2A^+} \rightleftharpoons \mathrm{HA} + \mathrm{H^+},\qquad K_{a1}=\frac{[\mathrm{H^+}][\mathrm{HA}]}{[\mathrm{H_2A^+}]},
\mathrm{HA} \rightleftharpoons \mathrm{A^-} + \mathrm{H^+},\qquad K_{a2}=\frac{[\mathrm{H^+}][\mathrm{A^-}]}{[\mathrm{HA}]}.
Também vale a conservação da massa (balanço de matéria):
C=[\mathrm{H_2A^+}]+[\mathrm{HA}]+[\mathrm{A^-}].
A estratégia comum e didática para aminoácidos é usar a propriedade anfótera: a forma zwitteriônica [\mathrm{HA}] tende a predominar e, em solução pura (sem outros ácidos/bases), o pH costuma ficar próximo do ponto isoelétrico. Existe uma relação simples para o ponto isoelétrico (pI) quando as duas etapas são relevantes:
[\mathrm{H_2A^+}]=[\mathrm{A^-}] \quad\Rightarrow\quad [\mathrm{H^+}]^2=K_{a1}K_{a2},
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\mathrm{pH}=\frac{\mathrm{p}K_{a1}+\mathrm{p}K_{a2}}{2}.
Vou explicar e usar essa relação porque ela tem derivação direta a partir das expressões de K_{a1} e K_{a2} (mostro a derivação no próximo passo) e dá o pH com boa precisão para a solução pura de um aminoácido.

Passo 3

Derivação curta e intuitiva da fórmula do pI (para fixar a ideia):
a partir de K_{a1}=\dfrac{[\mathrm{H^+}][\mathrm{HA}]}{[\mathrm{H_2A^+}]} e K_{a2}=\dfrac{[\mathrm{H^+}][\mathrm{A^-}]}{[\mathrm{HA}]}, eliminando [\mathrm{HA}] tem-se
\frac{K_{a1}}{K_{a2}}=\frac{[\mathrm{H^+}]^2}{[\mathrm{H_2A^+}][\mathrm{A^-}]}.
No ponto em que [\mathrm{H_2A^+}]=[\mathrm{A^-}] (ponto isoelétrico) isso reduz para
[\mathrm{H^+}]^2=K_{a1}K_{a2}.
Tomando logaritmo decimal e mudando de sinal:
\mathrm{pH}=-\log[\mathrm{H^+}]=\tfrac{1}{2}(\mathrm{p}K_{a1}+\mathrm{p}K_{a2}).
Essa é a razão física: no ponto em que há compensação de cargas entre as formas + e -, a concentração de prótons é a raiz do produto das constantes ácidas. Em uma solução de glicina pura esta aproximação é muito boa.

Passo 4

Calcular numericamente o pH pela fórmula do pI:
\mathrm{pH}=\frac{2,35+9,77}{2}=\frac{12,12}{2}=6,06.
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[\mathrm{H^+}]=10^{-\mathrm{pH}}=10^{-6,06}.
Para obter o valor numérico:
[\mathrm{H^+}]=10^{-6}\cdot10^{-0,06}\approx 1{,}000\times10^{-6}\times0{,}8706\approx8{,}70\times10^{-7}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
(Usei a aproximação 10^{-0,06}\approx e^{-0,06\ln10}\approx0{,}8706.)
Podemos também calcular K_{a1} e K_{a2} explicitamente:
K_{a1}=10^{-2,35}\approx4{,}47\times10^{-3}, \qquad K_{a2}=10^{-9,77}\approx1{,}69\times10^{-10}.

Passo 5

Agora vamos obter as concentrações de cada espécie a partir das relações de equilíbrio. A expressão conveniente é escrever [\mathrm{HA}] em função de C e de [\mathrm{H^+}]. Usando
[\mathrm{H_2A^+}]=\frac{[\mathrm{H^+}]}{K_{a1}}[\mathrm{HA}],\qquad [\mathrm{A^-}]=\frac{K_{a2}}{[\mathrm{H^+}]}[\mathrm{HA}],
e a conservação da massa C=[\mathrm{H_2A^+}]+[\mathrm{HA}]+[\mathrm{A^-}], obtemos
[\mathrm{HA}]=\frac{C}{\dfrac{[\mathrm{H^+}]}{K_{a1}}+1+\dfrac{K_{a2}}{[\mathrm{H^+}]}}.
Depois calculamos [\mathrm{H_2A^+}] e [\mathrm{A^-}] pelas expressões acima.
Substituindo os números já obtidos:
Calcule os fatores
\frac{[\mathrm{H^+}]}{K_{a1}}=\frac{8{,}70\times10^{-7}}{4{,}47\times10^{-3}}\approx1{,}95\times10^{-4},
\frac{K_{a2}}{[\mathrm{H^+}]}=\frac{1{,}69\times10^{-10}}{8{,}70\times10^{-7}}\approx1{,}94\times10^{-4}.
O denominador fica aproximadamente 1+1{,}95\times10^{-4}+1{,}94\times10^{-4}\approx1{,}000389.
Portanto
[\mathrm{HA}]\approx\frac{0{,}01}{1{,}000389}\approx0{,}009996\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
Agora
[\mathrm{H_2A^+}]=\frac{[\mathrm{H^+}]}{K_{a1}}[\mathrm{HA}]\approx1{,}95\times10^{-4}\times0{,}009996\approx1{,}95\times10^{-6}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}},
[\mathrm{A^-}]=\frac{K_{a2}}{[\mathrm{H^+}]}\,[\mathrm{HA}]\approx1{,}94\times10^{-4}\times0{,}009996\approx1{,}95\times10^{-6}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
Observação: como esperado no ponto isoelétrico as concentrações de [\mathrm{H_2A^+}] e [\mathrm{A^-}] são praticamente iguais e muito pequenas; a maior parte da glicina está na forma zwitteriônica [\mathrm{HA}].

Passo 6

Para completar, calculamos [\mathrm{OH^-}] a partir do produto iônico da água K_w=10^{-14}:
[\mathrm{OH^-}]=\frac{K_w}{[\mathrm{H^+}]}=\frac{10^{-14}}{8{,}70\times10^{-7}}\approx1{,}15\times10^{-8}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.

Resposta

\mathrm{pH}=6,06
[\mathrm{H^+}]=8,70\times10^{-7}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}
[\mathrm{OH^-}]=1,15\times10^{-8}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}
[\mathrm{HA}]=0,009996\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}
[\mathrm{H_2A^+}]=1,95\times10^{-6}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}
[\mathrm{A^-}]=1,95\times10^{-6}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}

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