Calcule as concentrações ( \mathrm{mol} \mathrm{L}^{-1} ) de todas as espécies presentes na solução resultante da mistura de 10 \mathrm{~m}^{3} de \mathrm{Ca}^{2+} 0,005 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} com 7 \mathrm{~m}^{3} EDTA 10^{-4} \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} em \mathrm{pH}=8,0.

Passo 1

O enunciado dá uma mistura de duas soluções e pede as concentrações (em mol L^{-1}) de todas as espécies presentes na solução final. Vou listar claramente o que foi dado e o que precisa ser encontrado.
  • Dados (peguei todos do enunciado):
    • Volume da solução de íons cálcio: 10\\ \mathrm{m}^3.
    • Concentração dessa solução de \mathrm{Ca}^{2+}: 0{,}005\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
    • Volume da solução de EDTA: 7\\ \mathrm{m}^3.
    • Concentração dessa solução de EDTA: 10^{-4}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
    • pH da mistura: 8{,}0.
  • O enunciado pede: calcular as concentrações (em \mathrm{mol\\ L^{-1}}) de todas as espécies presentes na solução resultante. As espécies relevantes que vamos considerar são:
    • íon livre \mathrm{Ca}^{2+};
    • complexo \mathrm{CaY}^{2-} (EDTA ligado ao cálcio — forma usual do complexo);
    • a forma livre totalmente deprotonada de EDTA, \mathrm{Y}^{4-}, e (se houver) outras formas livres protonadas de EDTA (mas veremos que são desprezíveis aqui);
    • íons de pH: \mathrm{H^+} e \mathrm{OH^-} (valores conhecidos a partir do pH).
A partir daqui começo a resolver com contas claras e passo a passo.

Passo 2

Calcular moles iniciais e concentração total após mistura (balanços de massa).
  1. Converter volumes para litros e calcular moles:
  • 1\\ \mathrm{m}^3 = 1000\\ \mathrm{L}.
  • Volume total de \mathrm{Ca}^{2+}: 10\\ \mathrm{m}^3 = 10\,000\\ \mathrm{L}.
  • Moles de \mathrm{Ca}^{2+} presentes inicialmente: n_{\mathrm{Ca}} = 0{,}005\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}} \times 10\,000\\ \mathrm{L} = 50\\ \mathrm{mol}.
  • Volume de EDTA: 7\\ \mathrm{m}^3 = 7\,000\\ \mathrm{L}.
  • Moles de EDTA (total, somando todas as formas protônicas): n_{\mathrm{EDTA}} = 10^{-4}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}} \times 7\,000\\ \mathrm{L} = 0{,}7\\ \mathrm{mol}.
  1. Volume final da mistura:
V_{\text{total}} = 10\,000\\ \mathrm{L} + 7\,000\\ \mathrm{L} = 17\,000\\ \mathrm{L}.
  1. Concentrações totais iniciais (após mistura, antes das reações):
  • Concentração total de cálcio (soma de livre + complexado): C_{\mathrm{Ca,tot}} = \frac{50\\ \mathrm{mol}}{17\,000\\ \mathrm{L}} = 0{,}002941176\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
  • Concentração total de EDTA (todas as formas protônicas e complexadas): C_{\mathrm{EDTA,tot}} = \frac{0{,}7\\ \mathrm{mol}}{17\,000\\ \mathrm{L}} = 4{,}117647\times 10^{-5}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
Observação qualitativa: há muito mais Ca do que EDTA (moles: 50 vs 0{,}7), então EDTA é o reagente limitante; no equilíbrio espera-se que praticamente todo EDTA disponível forme o complexo com Ca, desde que a ligação seja forte (ver passo seguinte).

Passo 3

Escrever o equilíbrio químico e a constante de formação; explicar o que isso significa.
A reação de complexação relevante (forma predominante do complexo EDTA–Ca) é
\mathrm{Ca}^{2+} + \mathrm{Y}^{4-} \rightleftharpoons \mathrm{CaY}^{2-}.
A constante de formação global (β) é definida por
\beta = \frac{[\mathrm{CaY}^{2-}]}{[\mathrm{Ca}^{2+}][\mathrm{Y}^{4-}]}.
Valor típico conhecido para essa constante é \log \beta \approx 10{,}65 (valor padrão de tabelas para o equilíbrio Ca–EDTA). Assim
\beta = 10^{10{,}65} \approx 4{,}47\times 10^{10}.
O que isso nos diz, em palavras: a formação do complexo é muito favorável — para concentrações típicas, uma quantidade muito pequena de \mathrm{Y}^{4-} livre e de \mathrm{Ca}^{2+} livre permanecem quando ambos estão presentes. Como temos muito mais Ca do que EDTA, a expectativa física é que quase todo o EDTA esteja como \mathrm{CaY}^{2-} (i.e., [\mathrm{CaY}^{2-}] \approx C_{\mathrm{EDTA,tot}} ) e restará muito \mathrm{Ca}^{2+} livre.
Obs. sobre protonação do EDTA: EDTA apresenta várias formas protonadas; a fração de \mathrm{Y}^{4-} livre depende do pH. A pH 8{,}0 a fração de \mathrm{Y}^{4-} é alta o suficiente e, além disso, a grande \beta puxa o equilíbrio, consumindo \mathrm{Y}^{4-} e deslocando as protólises a favor da formação de \mathrm{Y}^{4-}. Na prática para este problema — devido à enorme diferença de moles entre Ca e EDTA e ao grande \beta — quase todo o EDTA total fica complexoado; as formas protonadas livres são desprezíveis. Vamos confirmar isso com as contas do equilíbrio a seguir.

Passo 4

Montar as equações de equilíbrio e as equações de balanço de massa; resolver para as concentrações em equilíbrio.
Defino incógnitas (concentrações em mol L^{-1} na solução final):
  • x = [\mathrm{Ca}^{2+}] (livre),
  • y = [\mathrm{Y}^{4-}] (ligante livre, totalmente deprotonado),
  • c = [\mathrm{CaY}^{2-}] (complexo).
Balanços de massa:
\text{(Ca total)}\quad C_{\mathrm{Ca,tot}} = x + c.
\text{(EDTA total)}\quad C_{\mathrm{EDTA,tot}} = y + c.
Equilíbrio (constante de formação):
\beta = \frac{c}{x\,y}\quad\Longrightarrow\quad y = \frac{c}{\beta\,x}.
Substituir y do equilíbrio no balanço de EDTA:
C_{\mathrm{EDTA,tot}} = \frac{c}{\beta\,x} + c.
Também x = C_{\mathrm{Ca,tot}} - c. Substituindo:
C_{\mathrm{EDTA,tot}} = \frac{c}{\beta\,(C_{\mathrm{Ca,tot}} - c)} + c.
Multiplicando ambos os lados por \beta (C_{\mathrm{Ca,tot}} - c) e rearranjando obtemos uma equação quadrática em c:
\beta\,c^2 -\big(\beta (C_{\mathrm{EDTA,tot}} + C_{\mathrm{Ca,tot}})+1\big)c + \beta\,C_{\mathrm{EDTA,tot}}\,C_{\mathrm{Ca,tot}} = 0.
Agora substituo os números (já calculados no Passo 2) e \beta:
C_{\mathrm{Ca,tot}} = 0{,}002941176\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}, \qquad C_{\mathrm{EDTA,tot}} = 4{,}117647\times 10^{-5}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}},
\beta = 10^{10{,}65} \approx 4{,}4668\times 10^{10}.
Calculemos os coeficientes numéricos da quadrática:
  • A = \beta \approx 4{,}4668\times 10^{10}.
  • B = -\big(\beta (C_{\mathrm{EDTA,tot}} + C_{\mathrm{Ca,tot}})+1\big) \approx -1{,}3319\times 10^{8}.
  • C = \beta\,C_{\mathrm{EDTA,tot}}\,C_{\mathrm{Ca,tot}} \approx 5{,}41\times 10^{3}.
(Detalhe rápido das ordens de grandeza: B^2 é muito maior que 4AC, então as raízes são bem separadas; a raiz física será aquela menor, limitada por C_{\mathrm{EDTA,tot}}.)
Resolver a quadrática por fórmula de Bhaskara e escolher a raiz física ( 0\le c \le \min(C_{\mathrm{Ca,tot}},C_{\mathrm{EDTA,tot}}) ) dá, numericamente,
c \approx 4{,}129\times 10^{-5}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
Esse valor é essencialmente igual a C_{\mathrm{EDTA,tot}} = 4{,}1176\times 10^{-5}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}, ou seja: praticamente todo o EDTA total está no complexo \mathrm{CaY}^{2-}.
Agora calcule x e y:
  • [ \mathrm{Ca}^{2+} ] = x = C_{\mathrm{Ca,tot}} - c
x \approx 0{,}002941176 - 4{,}129\times 10^{-5} = 0{,}002899884\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}
(aprox. 2{,}90\times 10^{-3}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}).
  • [ \mathrm{Y}^{4-} ] = y = \dfrac{c}{\beta\,x} (ou = C_{\mathrm{EDTA,tot}} - c, que dá número muito pequeno)
y \approx \frac{4{,}129\times 10^{-5}}{(4{,}4668\times 10^{10})\times 0{,}002899884} \approx 3{,}19\times 10^{-13}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
Portanto a concentração de \mathrm{Y}^{4-} livre é negligivelmente pequena.

Passo 5

Concentrações de outras espécies relacionadas ao pH.
  • A partir do pH dado ( 8{,}0): [\mathrm{H^+}] = 10^{-8}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}, \qquad [\mathrm{OH^-}] = \frac{K_w}{[\mathrm{H^+}]} = 10^{-14}/10^{-8} = 10^{-6}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
  • As formas protonadas de EDTA (por exemplo \mathrm{HY}^{3-}, \mathrm{H_2Y}^{2-}, etc.) terão concentrações muito pequenas aqui em comparação com o complexo \mathrm{CaY}^{2-}; a maior parte do EDTA total está complexada conforme calculado. Se for preciso separar cada forma protônica livre, seria necessário usar as constantes de protólise do EDTA e resolver um sistema maior — mas com \beta tão grande e com EDTA limitante, a contribuição das formas protonadas livres é desprezível para as concentrações solicitadas.

Passo 6

Interpretação final e verificação rápida da consistência.
  • A maior parte do EDTA (praticamente 100 %) está como \mathrm{CaY}^{2-}: faz sentido porque \beta é enorme e há muito mais Ca do que EDTA.
  • A concentração de \mathrm{Ca}^{2+} livre permanece relativamente alta porque havia muito mais Ca do que EDTA para complexar.
  • A concentração de \mathrm{Y}^{4-} livre é praticamente zero, como esperado por uma constante de formação tão grande.

Resposta

[\mathrm{Ca}^{2+}] = 2{,}8999\times 10^{-3}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}
[\mathrm{CaY}^{2-}] = 4{,}13\times 10^{-5}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}
[\mathrm{Y}^{4-}] = 3{,}19\times 10^{-13}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}
[\mathrm{H^+}] = 1{,}00\times 10^{-8}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}
[\mathrm{OH^-}] = 1{,}00\times 10^{-6}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}

Exercícios relacionados