Um tanque de equalização recebe diariamente as seguintes soluções:
I) 3,0 \mathrm{~m}^{3} \mathrm{~h}^{-1} de solução 560,0 \mathrm{mg} \mathrm{L}^{-1} de íons \mathrm{Fe}^{3+}
II) \quad 1,5 \mathrm{~m}^{3} \mathrm{~h}^{-1} de solução 0,01 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} de SCN-
III) 1,5 \mathrm{~m}^{3} \mathrm{~h}^{-1} de solução EDTA 0,02 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} a \mathrm{pH}=8,0.
Calcule a concentração ( \mathrm{mg} \mathrm{L}^{-1} ) de \mathrm{Fe}^{3+} livre após a equalização.
Dados
(\mathrm{Fe}-\mathrm{OH}): \log \mathrm{K}_{1}=11,81 ; \log \mathrm{K}_{2}=10,1 ; \log \mathrm{K}_{3}=12,1
(Fe-SCN): \log \mathrm{K}_{1}=1,23
(Fe-EDTA): \log \mathrm{K}=25,1
\alpha_{Y}=4,2 \times 10^{-3}.

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado pede e quais dados temos (tudo que segue eu peguei do enunciado).
O que o enunciado pede:
  • Calcular a concentração de \mathrm{Fe}^{3+} livre, em \mathrm{mg\;L^{-1}}, após a equalização das três correntes.
Informações dadas (transportadas para notação conveniente):
  • Vazões:
    • Corrente I: 3{,}0\\ \mathrm{m^{3}\,h^{-1}} com 560{,}0\\ \mathrm{mg\;L^{-1}} de \mathrm{Fe}^{3+}.
    • Corrente II: 1{,}5\\ \mathrm{m^{3}\,h^{-1}} com 0{,}01\\ \mathrm{mol\;L^{-1}} de \mathrm{SCN^-}.
    • Corrente III: 1{,}5\\ \mathrm{m^{3}\,h^{-1}} com 0{,}02\\ \mathrm{mol\;L^{-1}} de EDTA a pH=8{,}0.
  • Constantes (fornecidas como log):
    • Fe–OH (constantes de formação globais): \log \beta_{1}=11{,}81,\\ \log \beta_{2}=10{,}1,\\ \log \beta_{3}=12{,}1.
    • Fe–SCN: \log K_{\mathrm{SCN}}=1{,}23.
    • Fe–EDTA: \log \beta_{\mathrm{EDTA}}=25{,}1.
  • Fração de EDTA na forma ativa \mathrm{Y}^{4-} a pH=8{,}0: \alpha_{Y}=4{,}2\times10^{-3}.
  • Dados físicos úteis: massa atômica do Fe \mathrm{M_{Fe}}=55{,}845\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.
  • Observação: o volume total de mistura é a soma das vazões. Não há imagem.
A resolução começa agora.

Passo 2

Transformar as correntes para molaridades e concentrações na mistura final.
  1. Converter a corrente I (Fe em mg·L^{-1} → mol·L^{-1}):
  • 560{,}0\\ \mathrm{mg\;L^{-1}} = 0{,}560\\ \mathrm{g\;L^{-1}}.
  • Concentração molar de Fe na corrente I:
\left[\mathrm{Fe}\right]_{I}=\frac{0{,}560\\ \mathrm{g\;L^{-1}}}{55{,}845\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}}=0{,}01003\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}\\ (\approx1{,}003\times10^{-2}\\ \mathrm{M}).
  1. Vazões (transformar para litros por hora):
  • Corrente I: 3{,}0\\ \mathrm{m^{3}\,h^{-1}}=3000\\ \mathrm{L\;h^{-1}}.
  • Corrente II: 1{,}5\\ \mathrm{m^{3}\,h^{-1}}=1500\\ \mathrm{L\;h^{-1}}.
  • Corrente III: 1{,}5\\ \mathrm{m^{3}\,h^{-1}}=1500\\ \mathrm{L\;h^{-1}}.
  • Vazão total: 3000+1500+1500=6000\\ \mathrm{L\;h^{-1}}.
  1. Calcular fluxos molares (mol·h^{-1}) e depois concentrações pós-mistura (mol·L^{-1}):
  • Fe (fluxo mol·h^{-1}):
\dot{n}_{\mathrm{Fe}} = 0{,}01003\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}\times 3000\\ \mathrm{L\;h^{-1}}=30{,}09\\ \mathrm{mol\;h^{-1}}.
Concentração total de Fe após mistura:
C_{\mathrm{Fe,tot}}=\frac{30{,}09\\ \mathrm{mol\;h^{-1}}}{6000\\ \mathrm{L\;h^{-1}}}=0{,}005015\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
  • SCN ^- (corrente II: 0{,}01\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}, 1500 L·h^{-1}):
\dot{n}_{\mathrm{SCN}}=0{,}01\times1500=15{,}0\\ \mathrm{mol\;h^{-1}}.
Concentração após mistura:
\left[\mathrm{SCN^-}\right]_{\mathrm{tot}}=\frac{15}{6000}=0{,}0025\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
  • EDTA total (corrente III: 0{,}02\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}, 1500 L·h^{-1}):
\dot{n}_{\mathrm{EDTA,tot}}=0{,}02\times1500=30{,}0\\ \mathrm{mol\;h^{-1}}.
Concentração total de EDTA após mistura:
\left[\mathrm{EDTA}\right]_{\mathrm{tot}}=\frac{30}{6000}=0{,}0050\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
Resumo até aqui:
  • C_{\mathrm{Fe,tot}}=0{,}005015\\ \mathrm{M}.
  • \left[\mathrm{SCN^-}\right]_{\mathrm{tot}}=0{,}0025\\ \mathrm{M}.
  • \left[\mathrm{EDTA}\right]_{\mathrm{tot}}=0{,}0050\\ \mathrm{M}.

Passo 3

Determinar a fração ativa de EDTA à pH=8{,}0 e a concentração de ligante ativo \mathrm{Y}^{4-}.
  • A fração ativa dada é \alpha_{Y}=4{,}2\times10^{-3}. Então a concentração de \mathrm{Y}^{4-} (a forma que complexa \mathrm{Fe}^{3+}) é:
\left[\mathrm{Y}^{4-}\right] = \alpha_{Y}\cdot\left[\mathrm{EDTA}\right]_{\mathrm{tot}} = 4{,}2\times10^{-3}\times0{,}0050=2{,}10\times10^{-5}\\ \mathrm{M}.
Observação intuitiva: a forma ativa de EDTA é muito pequena comparada ao EDTA total (por isso em pH 8 só uma fração atua como quelante).

Passo 4

Verificar quanto de Fe será sequestrado por EDTA e ajustar a massa de Fe disponível para as outras reações.
  • A constante de formação da complexa Fe–EDTA é enorme ( \log\beta_{\mathrm{EDTA}}=25{,}1), logo a reação Fe ^{3+}+Y^{4-} \rightleftharpoonsFeY tende a consumir virtualmente toda a \mathrm{Y}^{4-} disponível, desde que haja metal suficiente.
  • Comparar molaridades: \left[\mathrm{Y}^{4-}\right]=2{,}10\times10^{-5}\\ \mathrm{M} é muito menor que C_{\mathrm{Fe,tot}}=5{,}015\times10^{-3}\\ \mathrm{M}. Logo o EDTA será limitante: praticamente toda \mathrm{Y}^{4-} ficará complexada como \mathrm{FeY}, e a quantidade de Fe complexada por EDTA é igual a \left[\mathrm{Y}^{4-}\right].
  • Portanto, concentração de Fe ligada a EDTA:
\left[\mathrm{FeY}\right]\approx 2{,}10\times10^{-5}\\ \mathrm{M}.
  • Fe restante para equilibrar com OH^- e SCN^-:
C'_{\mathrm{Fe}} = C_{\mathrm{Fe,tot}}-\left[\mathrm{FeY}\right] =0{,}005015 - 2{,}10\times10^{-5} = 0{,}004994\\ \mathrm{M}.

Passo 5

Escrever as equações de equilíbrio relevantes (Fe–OH e Fe–SCN) e calcular os parâmetros numéricos.
Definições (formas tratadas):
  • Para hidrólise usamos as constantes globais \beta_{n} definidas por
\beta_{n}=\frac{\left[\mathrm{Fe(OH)}_{n}^{(3-n)}\right]}{\left[\mathrm{Fe^{3+}}\right]\,[\mathrm{OH^-}]^{n}}.
Dadas as \log\beta_{n}, calculamos \beta_{n}:
\beta_{1}=10^{11{,}81}=6{,}4565\times10^{11}, \quad \beta_{2}=10^{10{,}1}=1{,}2589\times10^{10}, \quad \beta_{3}=10^{12{,}1}=1{,}2589\times10^{12}.
  • Para SCN:
K_{\mathrm{SCN}}=\;10^{1{,}23}=16{,}98\quad\text{(aprox.)}
e a relação é \left[\mathrm{FeSCN}^{2+}\right]=K_{\mathrm{SCN}}\,[\mathrm{Fe^{3+}}]\,[\mathrm{SCN^-}_{free}].
  • pH fixado: pH=8{,}0\Rightarrow [\mathrm{OH^-}]=10^{-14+8}=10^{-6}\\ \mathrm{M}.
Agora calcular os termos das formações múltiplas multiplicados por potências de [\mathrm{OH^-}]:
\beta_{1}[\mathrm{OH^-}]=6{,}4565\times10^{11}\times10^{-6}=6{,}4565\times10^{5}=6{,}4565\times10^{5},
\beta_{2}[\mathrm{OH^-}]^{2}=1{,}2589\times10^{10}\times10^{-12}=1{,}2589\times10^{-2}=0{,}012589,
\beta_{3}[\mathrm{OH^-}]^{3}=1{,}2589\times10^{12}\times10^{-18}=1{,}2589\times10^{-6}=1{,}26\times10^{-6}.
Comentários sobre ordens de grandeza: o termo \beta_{1}[\mathrm{OH^-}] domina largamente (≈ 6{,}46\times10^{5}); os outros termos são desprezíveis ante esse, mas vou mantê-los para coerência numérica.

Passo 6

Argumento sobre SCN^- livre e formulação do balanço de massa do Fe (após descontar EDTA).
  • A concentração total de SCN^- é \left[\mathrm{SCN^-}\right]_{\mathrm{tot}}=0{,}0025\\ \mathrm{M}. Parte pode se ligar formando \mathrm{FeSCN}^{2+}, mas vamos verificar se essa ligação afeta fortemente [\mathrm{SCN^-}_{free}]. Como veremos, [\mathrm{Fe^{3+}}] livre será muito pequeno (devido à hidrólise forte), então o complexo FeSCN será uma fração minúscula do SCN total, e podemos aprox. usar [\mathrm{SCN^-}_{free}]\approx0{,}0025\\ \mathrm{M}. Depois iremos checar a consistência calculando [\mathrm{FeSCN}].

Passo 7

Montar e resolver o balanço de massa de Fe (após EDTA), assumindo [\mathrm{SCN^-}_{free}]\approx\left[\mathrm{SCN^-}\right]_{\mathrm{tot}}.
Balanço de massa para o ferro restante C'_{\mathrm{Fe}}:
C'_{\mathrm{Fe}} = [\mathrm{Fe^{3+}}] + [\mathrm{FeOH}] + [\mathrm{Fe(OH)_{2}}] + [\mathrm{Fe(OH)_{3}}] + [\mathrm{FeSCN}].
Usando as relações de equilíbrio:
[\mathrm{FeOH}]=\beta_{1}\,[\mathrm{Fe^{3+}}]\,[\mathrm{OH^-}], \quad [\mathrm{Fe(OH)_{2}}]=\beta_{2}\,[\mathrm{Fe^{3+}}]\,[\mathrm{OH^-}]^{2},
[\mathrm{Fe(OH)_{3}}]=\beta_{3}\,[\mathrm{Fe^{3+}}]\,[\mathrm{OH^-}]^{3}, \quad [\mathrm{FeSCN}]=K_{\mathrm{SCN}}\,[\mathrm{Fe^{3+}}]\,[\mathrm{SCN^-}_{free}].
Fatorando [\mathrm{Fe^{3+}}]:
C'_{\mathrm{Fe}} = [\mathrm{Fe^{3+}}]\left(1 +\beta_{1}[\mathrm{OH^-}] +\beta_{2}[\mathrm{OH^-}]^{2} +\beta_{3}[\mathrm{OH^-}]^{3} +K_{\mathrm{SCN}}[\mathrm{SCN^-}_{free}] \right).
Logo,
[\mathrm{Fe^{3+}}] = \frac{C'_{\mathrm{Fe}}}{D},
onde
D = 1+\beta_{1}[\mathrm{OH^-}]+\beta_{2}[\mathrm{OH^-}]^{2}+\beta_{3}[\mathrm{OH^-}]^{3}+K_{\mathrm{SCN}}[\mathrm{SCN^-}_{free}].
Substituir valores numéricos (usando [\mathrm{SCN^-}_{free}]\approx0{,}0025\\ \mathrm{M}):
  • Já calculamos
    \beta_{1}[\mathrm{OH^-}]=6{,}4565\times10^{5},
    \beta_{2}[\mathrm{OH^-}]^{2}=0{,}012589,
    \beta_{3}[\mathrm{OH^-}]^{3}=1{,}26\times10^{-6}.
  • K_{\mathrm{SCN}}[\mathrm{SCN^-}_{free}]=16{,}98\times0{,}0025=0{,}04245.
Logo
D \approx 1 + 6{,}4565\times10^{5} + 0{,}012589 + 1{,}26\times10^{-6} + 0{,}04245 \approx 645651{,}0550\\ (\text{aprox.}).
Fe restante para equilibrar: C'_{\mathrm{Fe}}=0{,}004994\\ \mathrm{M}.
Portanto
[\mathrm{Fe^{3+}}] = \frac{0{,}004994}{645651{,}0550}=7{,}737\times10^{-9}\\ \mathrm{M}\\ (\text{aprox.}).

Passo 8

Verificar consistência calculando [\mathrm{FeSCN}] e converter [\mathrm{Fe^{3+}}] para \mathrm{mg\;L^{-1}}.
  • Calcular [\mathrm{FeSCN}]:
[\mathrm{FeSCN}]=K_{\mathrm{SCN}}[\mathrm{Fe^{3+}}][\mathrm{SCN^-}_{free}] =16{,}98\times7{,}737\times10^{-9}\times0{,}0025
\approx 3{,}28\times10^{-10}\\ \mathrm{M}.
Isto é minúsculo comparado com \left[\mathrm{SCN^-}\right]_{\mathrm{tot}}=2{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{M}, logo a aproximação [\mathrm{SCN^-}_{free}]\approx\left[\mathrm{SCN^-}\right]_{\mathrm{tot}} foi consistente.
  • Converter [\mathrm{Fe^{3+}}] para \mathrm{mg\;L^{-1}}:
[\mathrm{Fe^{3+}}]_{\mathrm{mg\;L^{-1}}} = [\mathrm{Fe^{3+}}]\times M_{\mathrm{Fe}}\times1000 =7{,}737\times10^{-9}\times55{,}845\times1000.
Calcular numericamente:
7{,}737\times10^{-9}\times55{,}845\approx4{,}319\times10^{-4}\\ \mathrm{g\;L^{-1}}.
Convertendo para \mathrm{mg\;L^{-1}}:
4{,}319\times10^{-4}\\ \mathrm{g\;L^{-1}}=0{,}0004319\\ \mathrm{mg\;L^{-1}}.
Arredondando com sentido prático (valor muito pequeno):
[\mathrm{Fe^{3+}}]\approx4{,}32\times10^{-4}\\ \mathrm{mg\;L^{-1}}.

Passo 9

Interpretação rápida e incentivo.
  • O resultado mostra que, a pH=8, a maior parte do ferro não está como \mathrm{Fe^{3+}} livre: está em espécies hidroxiladas (e uma pequena fração complexada por EDTA). Por isso o \mathrm{Fe^{3+}} livre é praticamente zero (fração microgramas por litro).
  • Bom trabalho em seguir isso até aqui — é normal ficar assustado com tantas constantes; a estratégia prática é sempre: (a) mixar e obter concentrações totais, (b) identificar ligantes limitantes (EDTA), (c) usar massas e equilíbrios para resolver a fração livre.

Resposta

0,0004319 mg L^{-1}

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