Calcule a constante de equilíbrio de cada uma das reações seguintes:
\begin{aligned}& \mathrm{Cu}_{(\mathrm{s})}+2 \mathrm{Ag}^{+} \rightleftarrows \mathrm{Cu}^{2+}+2 \mathrm{Ag}_{(\mathrm{s})}& 2 \mathrm{MnO}_{4}^{-}+3 \mathrm{Mn}^{2+}+2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} \rightleftarrows 5 \mathrm{MnO}_{2}+4 \mathrm{H}^{+}\end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede as constantes de equilíbrio K de duas reações redox. Para isso vamos usar a relação entre a variação de energia livre padronizada e o potencial de célula:
\Delta G^\circ = -nF E^\circ_{\rm cel} \quad\Longrightarrow\quad K = \exp\!\Bigl(\tfrac{nF E^\circ_{\rm cel}}{RT}\Bigr)
Assumimos T=298{,}15,K, F=96485,C·mol ^{-1}, R=8{,}314,J·K ^{-1}·mol ^{-1}. Precisamos então dos potenciais padronizados dos semirreacções envolvidas.

Passo 2

Para a reação
\mathrm{Cu}_{(\mathrm{s})} + 2\,\mathrm{Ag}^+ \rightleftarrows \mathrm{Cu}^{2+} + 2\,\mathrm{Ag}_{(\mathrm{s})}
as semirreacções são
\text{(catodo) }\mathrm{Ag}^+ + e^- \longrightarrow \mathrm{Ag}_{(\mathrm{s})},\quad E^\circ=+0{,}7996\\ \mathrm V
\text{(anodo) }\mathrm{Cu}^{2+} + 2e^- \longrightarrow \mathrm{Cu}_{(\mathrm{s})},\quad E^\circ=+0{,}3370\\ \mathrm V
Invertemos a semirreacção de cobre para oxidação, de modo que
E^\circ_{\rm cel}=E^\circ_{\rm catodo}-E^\circ_{\rm anodo} =0{,}7996-0{,}3370=0{,}4626\\ \mathrm V
e n=2 elétrons.

Passo 3

Aplicando a expressão para K:
K_1 = \exp\!\Bigl(\tfrac{nFE^\circ_{\rm cel}}{RT}\Bigr) = \exp\!\Bigl(\tfrac{2\cdot96485\cdot0{,}4626}{8{,}314\cdot298{,}15}\Bigr) \approx \exp(36{,}0)\approx 4{,}3\times10^{15}.

Passo 4

Para a reação
2\,\mathrm{MnO}_4^- + 3\,\mathrm{Mn}^{2+} + 2\,\mathrm{H}_2\mathrm{O} \rightleftarrows 5\,\mathrm{MnO}_2 + 4\,\mathrm{H}^+
usamos duas semirreacções em meio ácido:
\mathrm{MnO}_4^- + 4\,\mathrm{H}^+ + 3e^- \longrightarrow \mathrm{MnO}_2 + 2\,\mathrm{H}_2\mathrm{O},\quad E^\circ_{\rm red}=+1{,}695\\ \mathrm V
\mathrm{MnO}_2 + 4\,\mathrm{H}^+ + 2e^- \longrightarrow \mathrm{Mn}^{2+} + 2\,\mathrm{H}_2\mathrm{O},\quad E^\circ_{\rm red}=+1{,}230\\ \mathrm V
invertemos a segunda para obter oxidação de \mathrm{Mn}^{2+}. Ao multiplicar a primeira por 2 e a oxidação por 3, cancelam-se 6,e ^- e obtém-se exatamente a equação global.

Passo 5

O potencial de célula é
E^\circ_{\rm cel} =E^\circ_{\rm red}(\text{permanganato}) +E^\circ_{\rm ox}(\text{Mn}^{2+}) =1{,}695 + (-1{,}230)=0{,}465\\ \mathrm V
com n=6 elétrons.

Passo 6

Logo,
K_2 = \exp\!\Bigl(\tfrac{6\cdot96485\cdot0{,}465}{8{,}314\cdot298{,}15}\Bigr) \approx \exp(108{,}6)\approx 1{,}6\times10^{47}.

Resposta

K_1 \approx 4{,}3\times10^{15}
K_2 \approx 1{,}6\times10^{47}

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