Calcule a constante de equilíbrio de cada uma das reações seguintes:
Dados:
\begin{array}{ll} \mathrm{Cu}^{2+}+2 \mathrm{e}^{-} \rightarrow \mathrm{Cu} & \mathrm{E}^{0}=0,337 \mathrm{~V} \\\ \mathrm{Ag}^{+}+\mathrm{e}^{-} \rightarrow \mathrm{Ag} & \mathrm{E}^{0}=0,799 \mathrm{~V} \\\ \mathrm{Fe}^{3+}+\mathrm{e}^{-} \rightarrow \mathrm{Fe}^{2+} & \mathrm{E}^{0}=0,771 \mathrm{~V} \\\ \mathrm{I}_{3}^{-}+2 \mathrm{e}^{-} \rightarrow 3 \mathrm{I}^{-} & \mathrm{E}^{0}=0,536 \mathrm{~V} \\\ \mathrm{MnO}_{4}^{-}+4 \mathrm{H}^{+}+3 \mathrm{e}^{-} \stackrel{\rightarrow}{\leftarrow} \mathrm{MnO}_{2(\mathrm{~s})}+2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} & \mathrm{E}^{0}=1,695 \mathrm{~V} \\\ \mathrm{MnO}_{4}^{-}+8 \mathrm{H}^{+}+5 \mathrm{e}^{-} \stackrel{\rightarrow}{\leftarrow} \mathrm{Mn}^{2+}+4 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} & \mathrm{E}^{0}=1,510 \mathrm{~V} \\\ \mathrm{NO}_{3}^{-}+3 \mathrm{H}^{+}+2 \mathrm{e}^{-} \stackrel{\leftarrow}{\leftarrow} \mathrm{HNO}_{2}+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O} & \mathrm{E}^{0}=0,940 \mathrm{~V} \end{array}
2 \mathrm{MnO}_{4}{ }^{-}+3 \mathrm{Mn}^{2+}+2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} \underset{\leftarrow}{\rightleftarrows} 5 \mathrm{MnO}_{2}+4 \mathrm{H}^{+}

Passo 1

O enunciado pede a constante de equilíbrio K para a reação
2\,\mathrm{MnO}_{4}^{-}+3\,\mathrm{Mn}^{2+}+2\,\mathrm{H}_{2}\mathrm{O} \rightleftharpoons 5\,\mathrm{MnO}_{2}+4\,\mathrm{H}^{+}
usando as semirreações fornecidas e seus potenciais padrão \mathrm{E}^0. Para isso vamos:
  1. identificar qual semirreação atua como redução (cátodo) e qual como oxidação (ânodo),
  2. balancear elétrons e combinar as semirreações,
  3. calcular \mathrm{E}^0_{\mathrm{cel}},
  4. obter \Delta G^\circ e
  5. usar \Delta G^\circ=-RT\ln K para achar K.

Passo 2

Das semirreações de interesse, escolhemos como redução (cátodo) aquela de maior potencial:
\mathrm{MnO}_{4}^{-}+4\,\mathrm{H}^{+}+3\,\mathrm{e}^{-}\longrightarrow \mathrm{MnO}_{2}+2\,\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}, \quad E^0_{\text{red}}=1{,}695\\ \mathrm{V}.

Passo 3

A outra semirreação será invertida (para atuar como oxidação):
\mathrm{Mn}^{2+}+4\,\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}\longrightarrow \mathrm{MnO}_{4}^{-}+8\,\mathrm{H}^{+}+5\,\mathrm{e}^{-}, \quad E^0_{\text{ox}}=-1{,}510\\ \mathrm{V},
pois originalmente ela é
\mathrm{MnO}_{4}^{-}+8\,\mathrm{H}^{+}+5\,\mathrm{e}^{-}\to\mathrm{Mn}^{2+}+4\,\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}
com E^0=1{,}510\\ \mathrm{V}.

Passo 4

Balanceamos elétrons multiplicando a primeira semirreação por 5 e a segunda por 3:
\begin{aligned} 5\bigl(\mathrm{MnO}_{4}^{-}+4\,\mathrm{H}^{+}+3\,\mathrm{e}^{-}\bigr) &\longrightarrow 5\,\mathrm{MnO}_{2}+10\,\mathrm{H}_{2}\mathrm{O},\\\\ 3\bigl(\mathrm{Mn}^{2+}+4\,\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}\bigr) &\longrightarrow 3\,\mathrm{MnO}_{4}^{-}+24\,\mathrm{H}^{+}+15\,\mathrm{e}^{-}. \end{aligned}
Somando e cancelando os 15\,\mathrm{e}^{-}, água e íons permanganato, obtém-se exatamente
2\,\mathrm{MnO}_{4}^{-}+3\,\mathrm{Mn}^{2+}+2\,\mathrm{H}_{2}\mathrm{O} \longrightarrow 5\,\mathrm{MnO}_{2}+4\,\mathrm{H}^{+}.

Passo 5

O potencial padrão da célula é
E^0_{\mathrm{cel}} =E^0_{\mathrm{red}}-E^0_{\mathrm{red\,(ânodo)}} =1{,}695\\ \mathrm{V}-1{,}510\\ \mathrm{V} =0{,}185\\ \mathrm{V}.â

Passo 6

Calculamos \Delta G^\circ pela relação
\Delta G^\circ = -n\,F\,E^0_{\mathrm{cel}},
onde n=15 é o número total de elétrons trocados e F=9{,}6485\times10^4\\ \mathrm{C\,mol^{-1}}.
\Delta G^\circ = -15\times9{,}6485\times10^4\\ \mathrm{J\,mol^{-1}} \times0{,}185\\ \mathrm{V} \approx -2,68\times10^5\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.

Passo 7

Usamos agora
\Delta G^\circ = -RT\ln K,
com R=8,314\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}} e T=298\\ \mathrm{K}. Logo,
\ln K = -\frac{\Delta G^\circ}{RT} =\frac{2{,}68\times10^5}{8{,}314\times298}\approx108{,}0,
K = e^{108{,}0}\approx7{,}9\times10^{46}.

Resposta

A constante de equilíbrio da reação é aproximadamente
K\approx7,9\times10^{46}.

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