1-Calcule a convolução discreta
, onde:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a convolução discreta
. As informações dadas são:
O que precisamos entregar é a sequência resultante
(a convolução linear entre as duas sequências). Não há outras informações no enunciado, então assumimos que ambas as sequências começam em
(isto é, os elementos estão em índices
) e que fora desses índices valem zero.
Passo 2
Vamos usar a definição padrão da convolução discreta. A definição é:
Explicando cada símbolo:
-
é o valor da sequência resultante no índice . -
é o valor da primeira sequência no índice . -
é o valor da segunda sequência no índice .
Na prática, comoe têm apoio finito (só têm valores não nulos para índices ), a soma reduz-se aos índices onde ambos os termos existem. Se tem comprimento e tem comprimento , o comprimento da saída será . Aqui e , logo . Assim vai de até .
Passo 3
Identificamos explicitamente os valores por índice (assumindo início em
):
E para qualquer índice fora de
vale
e
. Vamos calcular
para
usando a fórmula:
onde apenas os termos com
contribuem.
Passo 4
Calculemos
. Substituindo
:
Aqui
é não nula somente quando
, isto é, para
. Então:
Passo 5
Calculemos
. Substituindo
:
Os termos com
ocorrem para
. Logo:
Substituindo valores:
Passo 6
Calculemos
. Substituindo
:
Agora
para
, então todos os três termos aparecem:
Substituindo valores:
Passo 7
Calculemos
. Substituindo
:
Aqui somente
para
. Então:
Substituindo valores:
Passo 8
Calculemos
. Substituindo
:
Somente
dá
dentro do suporte, então:
Passo 9
Agora juntamos todos os valores obtidos para formar a sequência completa de saída. Conferindo: os comprimentos batem com
e os cálculos elementares estão completos. Se quiser checar de outro jeito, pode ver a convolução como multiplicação de polinômios cujos coeficientes são os termos das sequências; o resultado numérico será o mesmo.