1-Calcule a convolução discreta \mathrm{y}[\mathrm{kT}]=\mathrm{h}[\mathrm{kT}]{ }^{*} \mathrm{x}[\mathrm{kT}], onde:
\mathrm{h}[\mathrm{kT}]=\{3,5,7\}
\mathrm{x}[\mathrm{kT}]=\{-1,-2,-4\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a convolução discreta \mathrm{y}[\mathrm{kT}] = \mathrm{h}[\mathrm{kT}] * \mathrm{x}[\mathrm{kT}]. As informações dadas são:
\mathrm{h}[\mathrm{kT}] = \{3,5,7\}
\mathrm{x}[\mathrm{kT}] = \{-1,-2,-4\}
O que precisamos entregar é a sequência resultante \mathrm{y}[\mathrm{kT}] (a convolução linear entre as duas sequências). Não há outras informações no enunciado, então assumimos que ambas as sequências começam em k=0 (isto é, os elementos estão em índices 0,1,2) e que fora desses índices valem zero.

Passo 2

Vamos usar a definição padrão da convolução discreta. A definição é:
\mathrm{y}[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty} \mathrm{h}[m]\,\mathrm{x}[n-m]
Explicando cada símbolo:
  • \mathrm{y}[n] é o valor da sequência resultante no índice n.
  • \mathrm{h}[m] é o valor da primeira sequência no índice m.
  • \mathrm{x}[n-m] é o valor da segunda sequência no índice n-m.
    Na prática, como \mathrm{h} e \mathrm{x} têm apoio finito (só têm valores não nulos para índices 0,1,2), a soma reduz-se aos índices onde ambos os termos existem. Se \mathrm{h} tem comprimento L_h e \mathrm{x} tem comprimento L_x, o comprimento da saída será L_y = L_h + L_x - 1. Aqui L_h=3 e L_x=3, logo L_y = 5. Assim n vai de 0 até 4.

Passo 3

Identificamos explicitamente os valores por índice (assumindo início em 0):
\mathrm{h}[0]=3,\quad \mathrm{h}[1]=5,\quad \mathrm{h}[2]=7
\mathrm{x}[0]=-1,\quad \mathrm{x}[1]=-2,\quad \mathrm{x}[2]=-4
E para qualquer índice fora de \{0,1,2\} vale \mathrm{h}[\cdot]=0 e \mathrm{x}[\cdot]=0. Vamos calcular \mathrm{y}[n] para n=0,1,2,3,4 usando a fórmula:
\mathrm{y}[n] = \sum_{m=0}^{2} \mathrm{h}[m]\,\mathrm{x}[n-m],
onde apenas os termos com n-m\in\{0,1,2\} contribuem.

Passo 4

Calculemos \mathrm{y}[0]. Substituindo n=0:
\mathrm{y}[0] = \sum_{m=0}^{2} \mathrm{h}[m]\,\mathrm{x}[0-m].
Aqui \mathrm{x}[0-m] é não nula somente quando 0-m\in\{0,1,2\}, isto é, para m=0. Então:
\mathrm{y}[0] = \mathrm{h}[0]\mathrm{x}[0] = 3\cdot(-1) = -3.

Passo 5

Calculemos \mathrm{y}[1]. Substituindo n=1:
\mathrm{y}[1] = \sum_{m=0}^{2} \mathrm{h}[m]\,\mathrm{x}[1-m].
Os termos com 1-m\in\{0,1,2\} ocorrem para m=0,1. Logo:
\mathrm{y}[1] = \mathrm{h}[0]\mathrm{x}[1] + \mathrm{h}[1]\mathrm{x}[0].
Substituindo valores:
\mathrm{y}[1] = 3\cdot(-2) + 5\cdot(-1) = -6 -5 = -11.

Passo 6

Calculemos \mathrm{y}[2]. Substituindo n=2:
\mathrm{y}[2] = \sum_{m=0}^{2} \mathrm{h}[m]\,\mathrm{x}[2-m].
Agora 2-m\in\{0,1,2\} para m=0,1,2, então todos os três termos aparecem:
\mathrm{y}[2] = \mathrm{h}[0]\mathrm{x}[2] + \mathrm{h}[1]\mathrm{x}[1] + \mathrm{h}[2]\mathrm{x}[0].
Substituindo valores:
\mathrm{y}[2] = 3\cdot(-4) + 5\cdot(-2) + 7\cdot(-1) = -12 -10 -7 = -29.

Passo 7

Calculemos \mathrm{y}[3]. Substituindo n=3:
\mathrm{y}[3] = \sum_{m=0}^{2} \mathrm{h}[m]\,\mathrm{x}[3-m].
Aqui somente 3-m\in\{0,1,2\} para m=1,2. Então:
\mathrm{y}[3] = \mathrm{h}[1]\mathrm{x}[2] + \mathrm{h}[2]\mathrm{x}[1].
Substituindo valores:
\mathrm{y}[3] = 5\cdot(-4) + 7\cdot(-2) = -20 -14 = -34.

Passo 8

Calculemos \mathrm{y}[4]. Substituindo n=4:
\mathrm{y}[4] = \sum_{m=0}^{2} \mathrm{h}[m]\,\mathrm{x}[4-m].
Somente m=2 4-m=2 dentro do suporte, então:
\mathrm{y}[4] = \mathrm{h}[2]\mathrm{x}[2] = 7\cdot(-4) = -28.

Passo 9

Agora juntamos todos os valores obtidos para formar a sequência completa de saída. Conferindo: os comprimentos batem com L_y=5 e os cálculos elementares estão completos. Se quiser checar de outro jeito, pode ver a convolução como multiplicação de polinômios cujos coeficientes são os termos das sequências; o resultado numérico será o mesmo.

Resposta

\mathrm{y}[\mathrm{kT}] = \{-3,-11,-29,-34,-28\}

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