Um motor de indução de 266 \mathrm{~V}, 75 \mathrm{HP}, 60 \mathrm{~Hz}, quatro polos e ligado em \Delta tem os seguintes parâmetros: R_{1}=0,058 \Omega, X_{1}=0,32 \Omega, R_{2}=0,037 \Omega, X_{2}=0,386 \Omega, X_{M}= 9,24 \Omega, \quad P_{\mathrm{AeV}}=650 \mathrm{~W}, \quad P_{\text {núcleo }}=600 \mathrm{~W}ú e P_{\text {suplementares }}=150 \mathrm{~W}. Para um escorregamento de 1 \%, encontre:
a) A corrente de fase; (R.: I_{L}=75,15 \angle-31,17^{\circ} \mathrm{A} )
b) O fator de potência do estator; (R.: \mathrm{FP}=0,86 atrasado)
c) A frequência do rotor; (R.: f_{\mathrm{re}}=0,6 \mathrm{~Hz} )
d) As perdas no cobre do estator; (R.: P_{\text {PCE }}=982,71 \mathrm{~W} )
e) A potência de entreferro; (R.: P_{\mathrm{EF}}=50,33 \mathrm{~kW} )
f) A potência convertida da forma mecânica em elétrica P_{\text {conv }}; (R.: P_{\text {conv }}= 49,82 \mathrm{~kW} )
g) O conjugado induzido; (R.: \tau_{\text {ind }}=267 \mathrm{~N} . \mathrm{m} )
h) O conjugado de carga; (R.: \tau_{\text {carga }}=259,5 \mathrm{~N} . \mathrm{m} )
i) A eficiência total da máquina. (R.: \eta=94,37 \% )

Passo 1

O enunciado pede vários resultados para um motor de indução. Vou listar claramente o que é pedido e todos os dados numéricos fornecidos (para eu não me perder no resto da resolução):
Perguntas:
  • (a) A corrente de fase;
  • (b) O fator de potência do estator;
  • (c) A frequência do rotor;
  • (d) As perdas no cobre do estator;
  • (e) A potência de entreferro (potência do entreferro / potência atravessando o entreferro);
  • (f) A potência convertida da forma mecânica em elétrica P_{\text{conv}} (potência desenvolvida no rotor antes das perdas mecânicas);
  • (g) O conjugado (torque) induzido \tau_{\text{ind}};
  • (h) O conjugado (torque) de carga \tau_{\text{carga}} (torque no eixo entregue à carga);
  • (i) A eficiência total da máquina \eta.
Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Tensão de linha (ligação em }\Delta):\; V_{\text{L}} = 266\\ \mathrm{V} \\\ &\text{Potência nominal:}\; 75\\ \mathrm{HP} \\\ &\text{Frequência da rede:}\; f = 60\\ \mathrm{Hz} \\\ &\text{Pólos:}\; 4 \\\ &\text{Escorregamento usado:}\; s = 1\% = 0{,}01 \\\ &\text{Parâmetros (referidos ao estator): } R_1 = 0{,}058\\ \Omega,\; X_1 = 0{,}32\\ \Omega,\\\ &\qquad R_2 = 0{,}037\\ \Omega,\; X_2 = 0{,}386\\ \Omega,\; X_M = 9{,}24\\ \Omega. \\\ &\text{Perdas conhecidas: } P_{\text{AeV}}=650\\ \mathrm{W},\; P_{\text{núcleo}}=600\\ \mathrm{W},\; P_{\text{suplementares}}=150\\ \mathrm{W}. \end{aligned}ãçãêêóâú
Observações importantes (para não confundir depois):
  • Como a máquina está em \Delta, a tensão de fase utilizada no circuito por fase equivalente é \,V_{\text{fase}}=V_{\text{L}}=266\\ \mathrm{V}.
  • A resolução seguirá o circuito equivalente por fase: R_1+jX_1 em série com o paralelo entre jX_M e R_2/s + jX_2.
  • A partir desse circuito eu vou calcular a corrente por fase, tensões internas, correntes do rotor, potências por fase e depois total (3 fases). Não vou pular etapas matemáticas.

Passo 2

Montagem do circuito equivalente por fase e cálculo do ramo do rotor \;Z_r.
Explicação rápida: No modelo escalar por fase do motor, o rotor referido ao estator aparece como uma resistência \dfrac{R_2}{s} em série com a reatância jX_2. Esse ramo fica em paralelo com a reatância de magnetização jX_M. Em seguida vem em série a resistência e reatância do estator R_1+jX_1.
Calculemos primeiro o impedância do ramo do rotor:
Z_r = \frac{R_2}{s} + jX_2.
Substituindo:
\frac{R_2}{s} = \frac{0{,}037}{0{,}01} = 3{,}7\\ \Omega,
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Z_r = 3{,}7 + j\,0{,}386\\ \Omega.

Passo 3

Calcular a admitância do paralelo formado por Z_r e jX_M, e então a impedância equivalente do paralelo Z_p.
Explicação de conceito: Admitância é o inverso da impedância. Para dois ramos em paralelo:
Y_p = \frac{1}{Z_r} + \frac{1}{jX_M}.
Depois Z_p = \dfrac{1}{Y_p}.
Calculemos 1/Z_r:
\frac{1}{Z_r}=\frac{1}{3{,}7+j0{,}386}=\frac{3{,}7-j0{,}386}{3{,}7^2+0{,}386^2} \approx 0{,}26736 - j0{,}02790\\ \mathrm{S}.
Calculemos 1/(jX_M):
\frac{1}{jX_M} = -j\frac{1}{X_M} = -j\frac{1}{9{,}24} \approx -j0{,}108225\\ \mathrm{S}.
Somando:
Y_p \approx 0{,}26736 - j(0{,}02790+0{,}108225)=0{,}26736 - j0{,}136125\\ \mathrm{S}.
Agora a impedância do paralelo:
Z_p = \frac{1}{Y_p} = \frac{0{,}26736 + j0{,}136125}{0{,}26736^2 + 0{,}136125^2} \approx 2{,}9706 + j1{,}5124\\ \Omega.

Passo 4

Montar a impedância total por fase Z_{\text{eq}} e explicar como obter a corrente de fase.
Explicação: A impedância de cada fase vista pela fonte é:
Z_{\text{eq}} = R_1 + jX_1 + Z_p.
Substituindo:
Z_{\text{eq}} = 0{,}058 + j0{,}32 + 2{,}9706 + j1{,}5124 = 3{,}0286 + j1{,}8324\\ \Omega.
A corrente de fase (corrente na bobina) é
I_1 = \frac{V_{\text{fase}}}{Z_{\text{eq}}} = \frac{266}{3{,}0286 + j1{,}8324}.

Passo 5

Cálculo numérico da corrente de fase I_1 (detalhando conversão para forma polar).
Dividindo, primeiro magnitude de Z_{\text{eq}} e ângulo:
|Z_{\text{eq}}|=\sqrt{3{,}0286^2 + 1{,}8324^2}\approx 3{,}5401\\ \Omega, \qquad \angle Z_{\text{eq}} = \arctan\!\left(\frac{1{,}8324}{3{,}0286}\right)\approx 31{,}171^\circ.
Portanto
I_1 = \frac{266}{3{,}5401}\angle -31{,}171^\circ \approx 75{,}15\angle -31{,}17^\circ\\ \mathrm{A}.
Observação sobre terminologia: este é a corrente de fase (corrente na bobina). No enunciado o resultado esperado foi mostrado como I_{L}=75{,}15\angle -31{,}17^\circ\\ \mathrm{A}; coincidentemente num motor em \Delta a corrente na bobina é a que calculamos aqui (seguimos o circuito por fase).

Passo 6

Fator de potência do estator (explicação e cálculo).
Explicação: O fator de potência é o cosseno do ângulo entre tensão e corrente. Como a tensão de fase escolhida V_{\text{fase}} é referência (ângulo 0), o ângulo da corrente é o ângulo de defasagem.
\text{FP} = \cos(\angle I_1) = \cos(31{,}171^\circ) \approx 0{,}856 \approx 0{,}86 \text{ (atrasado)}.

Passo 7

Frequência do rotor f_{\text{re}}.
Explicação: A frequência das correntes induzidas no rotor é igual ao escorregamento vezes a frequência de rede:
f_{\text{re}} = s\cdot f = 0{,}01\cdot 60 = 0{,}6\\ \mathrm{Hz}.

Passo 8

Perdas no cobre do estator P_{\text{PCE}} (explicação e cálculo).
Explicação: Perdas no cobre do estator (aquecimento nos enrolamentos) são 3 I_1^2 R_1 (três fases).
P_{\text{PCE}} = 3\cdot I_1^2 \cdot R_1.
Usando I_1 \approx 75{,}148\\ \mathrm{A} (valor numérico):
P_{\text{PCE}} = 3\cdot (75{,}148)^2 \cdot 0{,}058 \approx 982{,}7\\ \mathrm{W}.

Passo 9

Tensão no ponto do paralelo V_p (tensão aplicada ao paralelo rotor+magnetização) — cálculo necessário para obter a corrente do rotor I_2.
Explicação: A tensão no paralelo é a tensão de fase menos a queda no estator:
V_p = V_{\text{fase}} - I_1\,(R_1 + jX_1).
Calculando numericamente (usando I_1 em forma retangular) obtemos
V_p \approx 249{,}84 - j18{,}34\\ \mathrm{V}
(com magnitude aproximadamente 250{,}50\\ \mathrm{V} e ângulo aproximadamente -4{,}19^\circ).

Passo 10

Corrente no ramo do rotor I_2 (detalhes).
Explicação: A corrente do rotor referido é a tensão V_p dividida pela impedância do rotor Z_r:
I_2 = \frac{V_p}{Z_r}.
Usando os valores numéricos calculados:
I_2 \approx 66{,}33 - j11{,}87\\ \mathrm{A},
ou em módulo/ângulo
|I_2|\approx 67{,}40\\ \mathrm{A},\quad \angle I_2\approx -10{,}13^\circ.

Passo 11

Potência que atravessa o entreferro (potência do entreferro) P_{\mathrm{EF}} — cálculo e explicação.
Explicação: A potência atravessando o entreferro (air-gap power), que chamo P_{\mathrm{EF}}, é a potência dissipada na resistência R_2/s do ramo rotor-referido; em termos de I_2 é:
P_{\mathrm{EF}} = 3\cdot |I_2|^2 \cdot \frac{R_2}{s}.
Substituindo:
\frac{R_2}{s}=3{,}7\\ \Omega,\qquad |I_2|^2\approx (67{,}40)^2 \approx 4544{,}2,
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P_{\mathrm{EF}} \approx 3\cdot 4544{,}2 \cdot 3{,}7 \approx 50{,}33\\ \mathrm{kW}.
Comentário: Este valor é a potência que entra no rotor através do entreferro antes de se repartir em perda Joule do rotor e potência convertida em mecânica.

Passo 12

Perdas no cobre do rotor P_{\text{cu2}} e potência convertida P_{\text{conv}}.
Explicação: A parte da potência do entreferro que é dissipada no cobre do rotor (perdas Joule no rotor) é
P_{\text{cu2}} = 3\cdot |I_2|^2 \cdot R_2.
Com R_2=0{,}037\\ \Omega:
P_{\text{cu2}} \approx 3\cdot 4544{,}2 \cdot 0{,}037 \approx 505{,}8\\ \mathrm{W}.
A potência convertida em forma mecânica (potência desenvolvida no rotor, antes das perdas mecânicas) é a potência do entreferro menos as perdas no cobre do rotor:
P_{\text{conv}} = P_{\mathrm{EF}} - P_{\text{cu2}} \approx 50{,}33\\ \mathrm{kW} - 0{,}506\\ \mathrm{kW} \approx 49{,}82\\ \mathrm{kW}.
Alternativamente a fórmula direta é P_{\text{conv}} = P_{\mathrm{EF}}(1-s) = P_{\mathrm{EF}}\cdot(1-0{,}01).

Passo 13

Velocidades síncronas e mecânicas e conversão para velocidade angular.
Explicação: A velocidade síncrona em rpm para p polos é
n_s = \frac{120\cdot f}{\text{pólos}} = \frac{120\cdot 60}{4} = 1800\\ \mathrm{rpm}.ó
A velocidade mecânica do rotor é
n_r = n_s (1-s) = 1800\cdot 0{,}99 = 1782\\ \mathrm{rpm}.
Convertendo para rad/s:
\omega_m = 2\pi\frac{n_r}{60} = 2\pi\cdot \frac{1782}{60} \approx 186{,}71\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 14

Cálculo do conjugado induzido \tau_{\text{ind}}.
Explicação: O torque eletromagnético desenvolvido (induzido) é a potência convertida dividida pela velocidade angular mecânica:
\tau_{\text{ind}} = \frac{P_{\text{conv}}}{\omega_m}.
Substituindo P_{\text{conv}}\approx 49{,}82\\ \mathrm{kW} e \omega_m\approx 186{,}71\\ \mathrm{rad/s}:
\tau_{\text{ind}} \approx \frac{49{,}82\cdot 10^3}{186{,}71} \approx 267\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 15

Cálculo do conjugado de carga \tau_{\text{carga}} (torque no eixo entregue à carga) e explicações sobre perdas a subtrair.
Explicação: A potência útil no eixo (potência de saída P_{\text{out}}) é a potência de entrada elétrica menos todas as perdas (perdas elétricas e mecânicas). Uma forma segura é:
P_{\text{in}} = 3\cdot V_{\text{fase}}\cdot I_1 \cdot \cos\varphi,
onde \cos\varphi é o fator de potência do estator. Então
P_{\text{out}} = P_{\text{in}} - \big(P_{\text{PCE}} + P_{\text{núcleo}} + P_{\text{cu2}} + P_{\text{AeV}} + P_{\text{suplementares}}\big).ú
Vamos calcular numericamente P_{\text{in}}:
P_{\text{in}} = 3\cdot 266\cdot 75{,}148 \cdot 0{,}856 \approx 51{,}359\\ \mathrm{W}.
Somando as perdas:
P_{\text{PCE}} \approx 982{,}7\\ \mathrm{W},\; P_{\text{núcleo}}=600\\ \mathrm{W},\; P_{\text{cu2}}\approx 505{,}8\\ \mathrm{W},ú
e mecânicas P_{\text{AeV}}=650\\ \mathrm{W},\; P_{\text{suplementares}}=150\\ \mathrm{W}.
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P_{\text{out}} \approx 51{,}359 - (982{,}7 + 600 + 505{,}8 + 650 + 150) \approx 48{,}470\\ \mathrm{W}.
Finalmente o torque do eixo entregue à carga:
\tau_{\text{carga}} = \frac{P_{\text{out}}}{\omega_m} \approx \frac{48{,}470}{186{,}71} \approx 259{,}5\\ \mathrm{N\cdot m}.
Observação: este procedimento subtraiu todas as perdas conhecidas (cobre estator, núcleo, cobre rotor, ventilação e suplementares) da potência de entrada para obter a potência útil no eixo; o resultado é o torque disponível para a carga.

Passo 16

Cálculo da eficiência total \eta.
Explicação: Eficiência é razão entre potência de saída no eixo e potência de entrada elétrica:
\eta = \frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}}.
Substituindo os números:
\eta \approx \frac{48{,}470}{51{,}359} \approx 0{,}9437 \approx 94{,}37\%.

Resposta

(a) I_{\text{fase}} = 75{,}15\angle -31{,}17^\circ\\ \mathrm{A}
(b) \text{FP} = 0{,}86 (atrasado)
(c) f_{\mathrm{re}} = 0{,}6\\ \mathrm{Hz}
(d) P_{\text{PCE}} = 982{,}71\\ \mathrm{W}
(e) P_{\mathrm{EF}} = 50{,}33\\ \mathrm{kW}
(f) P_{\text{conv}} = 49{,}82\\ \mathrm{kW}
(g) \tau_{\text{ind}} = 267\\ \mathrm{N\cdot m}
(h) \tau_{\text{carga}} = 259{,}5\\ \mathrm{N\cdot m}
(i) \eta = 94{,}37\%

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