Calcule, em coordenadas polares.
integral0^2 integral0^raiz2 x-x^2 x y d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral0^2integral0^raiz2x - x^2 x,y ,dy,dx
usando coordenadas polares. Vamos usar a mudança de variável
;x = rcostheta,;y = rsintheta
e o jacobiano ;dx,dy = r,dr,dtheta.

Passo 2

Identificamos o domínio em xy:
a condição y = raiz2x - x^2 equivale a
(x-1)^2 + y^2 = 1,
ou seja, o círculo de raio 1 centrado em (1,0). Como 0<= x<=2 e y>=0, ficamos com a semicircunferência superior. Em coordenadas polares:
r^2 = 2rcostheta Longrightarrow r = 2costheta,
e para garantir r>=0 é necessário costheta>=0. Como também y>=0 diz thetain[0,pi], o domínio polar fica
0<=theta<=pi2, 0<= r<= 2costheta

Passo 3

Em polares o integrando e o elemento de área viram
x,y,dx,dy = (rcostheta)(rsintheta),r,dr,dtheta = r^3costhetasintheta,dr,dtheta

Passo 4

Montamos a integral em polares:
integral0^pi/2integral0^2costheta r^3costhetasintheta,dr,dtheta
Primeiro integramos em r:
integral0^2costhetar^3,dr =r^44|0^2costheta =(2costheta)^44 =4cos^4theta
Logo a integral vira
4integral0^pi/2cos^4theta;costhetasintheta,dtheta =4integral0^pi/2cos^5thetasintheta,dtheta

Passo 5

Fazemos a substituição u=costheta, du=-sintheta,dtheta. Quando theta=0, u=1; quando theta=pi/2, u=0. Assim
4integral0^pi/2cos^5thetasintheta,dtheta =4integral1^0u^5(-du) =4integral0^1u^5,du =4[u^66]0^1 =46 =23

Resposta

23

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