Calcule, em coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando coordenadas polares. Vamos usar a mudança de variável
e o jacobiano .
e o jacobiano
Passo 2
Identificamos o domínio em
:
a condição equivale a
a condição
ou seja, o círculo de raio
centrado em
. Como
e
, ficamos com a semicircunferência superior. Em coordenadas polares:
e para garantir
é necessário
. Como também
diz
, o domínio polar fica
Passo 3
Em polares o integrando e o elemento de área viram
Passo 4
Montamos a integral em polares:
Primeiro integramos em
:
Logo a integral vira
Passo 5
Fazemos a substituição
u=costheta ,
du=-sintheta,dtheta . Quando
theta=0 ,
u=1 ; quando
theta=pi/2 ,
u=0 . Assim