Escreva a soma das duas integrais como uma única integral dupla usando coordenadas polares e a calcule.
integral0^2 integral0^x raizx^2+y^2 d y d x+integral2^2 raiz2 integral0^raiz8-x^2 raizx^2+y^2 d y d x ; Resp. 4 raiz2 pi3

Passo 1

O enunciado pede para somar
integral0^2 integral0^x raizx^2+y^2,dy,dx ;+; integral2^2raiz2 integral0^raiz8-x^2 raizx^2+y^2,dy,dx
escrever como uma única integral dupla em coordenadas polares e calcular. O conteúdo é mudança de variáveis para coordenadas polares, onde
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta, raizx^2+y^2=r

Passo 2

A primeira integral integra sobre a região
0<= x<=2, 0<= y<= x
Em polares, y<= x vira theta<=pi/4, e x<=2 vira rcostheta<=2, ou seja
0<=theta<=pi4, 0<= r<=2costheta

Passo 3

A segunda integral é sobre
2<= x<=2raiz2, 0<= y<=raiz8-x^2,
onde y=raiz8-x^2 é o círculo de raio 2raiz2. Em polares temos
r<=2raiz2, rcostheta>=2,
o que dá
0<=theta<=pi4, 2costheta<= r<=2raiz2

Passo 4

Somando as duas faixas de r para cada thetain[0,pi/4] obtemos 0<= r<=2raiz2. Logo a integral única em polares é
integraltheta=0^pi/4integralr=0^2raiz2 r;l(r,dr,dthetar) =integral0^pi/4integral0^2raiz2 r^2,dr,dtheta

Passo 5

Calculando a integral em r e depois em theta:
integral0^pi/4integral0^2raiz2 r^2,dr,dtheta =integral0^pi/4l[r^33r]0^2raiz2dtheta =integral0^pi/4(2raiz2)^33,dtheta =integral0^pi/416raiz23,dtheta =16raiz23cdotpi4 =4raiz2,pi3

Resposta

4raiz2,pi3

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