Calcule as coordenadas do vetor dado na base indicada:
(1,2,3)]_{\beta} para \beta=\{(0,0,-1),(-1,0,0),(0,-1,0)\} em V=\mathbb{R}^{3};

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pede-se as coordenadas do vetor (1,2,3) na base \beta.
  • A base \beta é \beta=\{(0,0,-1),(-1,0,0),(0,-1,0)\}.
  • Estamos em V=\mathbb{R}^{3}.
Ou seja: quero encontrar os escalares (as coordenadas) que expressam (1,2,3) como combinação linear dos vetores da base \beta.

Passo 2

O que significa escrever um vetor em coordenadas numa base.
Se \beta=\{v_{1},v_{2},v_{3}\} é uma base de \mathbb{R}^{3}, então qualquer vetor x\in\mathbb{R}^{3} pode ser escrito de forma única como
x = c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3},
onde os escalares c_{1},c_{2},c_{3} são as coordenadas de x na base \beta. O objetivo é achar esses c_{i}.

Passo 3

Aplicando o conceito ao nosso caso: escrevendo (1,2,3) como combinação linear dos vetores de \beta.
Denotando
v_{1}=(0,0,-1),\qquad v_{2}=(-1,0,0),\qquad v_{3}=(0,-1,0),
procuramos c_{1},c_{2},c_{3} tais que
c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}=(1,2,3).

Passo 4

Escrevendo a soma componente a componente.
Calculemos cada termo:
c_{1}v_{1}=c_{1}(0,0,-1)=(0,0,-c_{1}),
c_{2}v_{2}=c_{2}(-1,0,0)=(-c_{2},0,0),
c_{3}v_{3}=c_{3}(0,-1,0)=(0,-c_{3},0).
Somando:
c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}=(-c_{2},-c_{3},-c_{1}).
Queremos que isso seja igual a (1,2,3). Portanto obtemos o sistema de equações:
\begin{cases} -c_{2}=1,\\[4pt] -c_{3}=2,\\[4pt] -c_{1}=3. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema para encontrar c_{1},c_{2},c_{3}.
Das equações:
-c_{2}=1 \implies c_{2}=-1,
-c_{3}=2 \implies c_{3}=-2,
-c_{1}=3 \implies c_{1}=-3.

Passo 6

Conferência rápida (verificação).
Recompondo com os valores encontrados:
-3\,(0,0,-1)+(-1)\,(-1,0,0)+(-2)\,(0,-1,0)
= (0,0,3) + (1,0,0) + (0,2,0) = (1,2,3),
portanto os coeficientes estão corretos.

Resposta

\left[(1,2,3)\right]_{\beta}=(-3,-1,-2)

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