Calcule as coordenadas do vetor dado na base indicada: \left.\left(\begin{array}{lll}a & d & e \\\ d & b & f \\\ e & f & c\end{array}\right)\right]_{\beta} para \beta=\left\{E_{11}, E_{22}, E_{33}, E_{12}+E_{21}, E_{13}+E_{31}, E_{23}+E_{23}\right\} em V=M_{3}(\mathbb{R});
Passo 1
O enunciado pede: calcular as coordenadas, na base \beta, do vetor (matriz)
\left(\begin{array}{ccc} a & d & e \\\ d & b & f \\\ e & f & c \end{array}\right)
em V=M_{3}(\mathbb{R}).
As informações dadas que vou usar:
A matriz alvo é \left(\begin{smallmatrix}a & d & e \\\ d & b & f \\\ e & f & c\end{smallmatrix}\right) (note que é simétrica).
A base indicada é \beta=\{E_{11},\,E_{22},\,E_{33},\,E_{12}+E_{21},\,E_{13}+E_{31},\,E_{23}+E_{23}\}.
Observação importante (ambiguidadede no enunciado): o último elemento da base aparece como E_{23}+E_{23}, o que é redundante. Vou assumir que houve um erro de digitação e que o elemento correto é E_{23}+E_{32} (o padrão para bases de matrizes simétricas). Continuarei com essa interpretação sem pedir confirmação.
Passo 2
Conceito-chave: coordenadas de um vetor em relação a uma base.
Se \beta=\{v_1,\dots,v_n\} é uma base de um espaço vetorial, então qualquer vetor v pode ser escrito de forma única como combinação linear
v = c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_n v_n,
e o vetor de coordenadas de v em \beta é (c_1,c_2,\dots,c_n) (costumo escrever como coluna).
Aqui as v_i são matrizes da base \beta e o vetor v é a matriz fornecida. O objetivo é encontrar os coeficientes c_i.
Passo 3
Lembrando o que são as matrizes E_{ij}:
E_{ij} é a matriz 3\times3 que tem 1 na posição (i,j) e zeros nas demais posições.
Assim, E_{12}+E_{21} é a matriz que tem 1 nas posições (1,2) e (2,1) e zeros nas outras.
Passo 4
Vamos escrever a matriz dada como combinação linear dos vetores da base (na ordem dada em \beta). Posso escrever
\left(\begin{array}{ccc} a & d & e \\\ d & b & f \\\ e & f & c \end{array}\right) = \alpha_1 E_{11}+\alpha_2 E_{22}+\alpha_3 E_{33}+\alpha_4 (E_{12}+E_{21})+\alpha_5 (E_{13}+E_{31})+\alpha_6 (E_{23}+E_{32}).
Aqui \alpha_1,\dots,\alpha_6 são os coeficientes (as coordenadas na base \beta) que queremos encontrar.
Passo 5
Agora igualamos as entradas das duas matrizes posição por posição. Explicando cuidadosamente:
O lado direito contribui para as entradas diagonais apenas pelos termos \alpha_1 E_{11}, \alpha_2 E_{22}, \alpha_3 E_{33}. Portanto, as entradas diagonais nos dizem imediatamente:
\alpha_1 = a,\qquad \alpha_2 = b,\qquad \alpha_3 = c.
Para a posição (1,2): no lado direito apenas \alpha_4 (E_{12}+E_{21}) e nenhum termo diagonal atinge (1,2). Como (E_{12}+E_{21})_{1,2}=1, obtemos
\alpha_4 = d.
Para a posição (2,1) obtemos a mesma equação (coerência da simetria): \alpha_4 = d novamente.
Para a posição (1,3): o único termo que contribui é \alpha_5 (E_{13}+E_{31}), e (E_{13}+E_{31})_{1,3}=1, então
\alpha_5 = e.
Para a posição (2,3): o único termo que contribui é \alpha_6 (E_{23}+E_{32}), e (E_{23}+E_{32})_{2,3}=1, então
\alpha_6 = f.
Cada coeficiente é determinado de forma direta porque a base é formada por matrizes que têm 1’s apenas nas posições correspondentes e 0’s nas demais, logo não há mistura entre coeficientes.
Passo 6
Conclusão: os coeficientes (coordenadas) são, na ordem da base \beta,