Para
, calcule a curvatura
.
Para \vec{r}(t)=(\cos t, \sin t, t), calcule a curvatura \kappa(t).

Passo 1

O enunciado pede a curvatura \kappa(t) da curva espacial
\vec r(t) = (\cos t,\;\sin t,\;t).
O conteúdo usado é a definição de curvatura em \mathbb{R}^3:
\kappa(t) \;=\;\frac{\bigl\lVert \vec r\,'(t)\times \vec r\,''(t)\bigr\rVert}{\bigl\lVert \vec r\,'(t)\bigr\rVert^3}.

Passo 2

Vamos achar as derivadas primeira e segunda de \vec r(t).
A derivada primeira é
\vec r\,'(t) =\bigl(-\sin t,\;\cos t,\;1\bigr).
A derivada segunda é
\vec r\,''(t) =\bigl(-\cos t,\;-\,\sin t,\;0\bigr).

Passo 3

Agora calculamos o produto vetorial \vec r\,'(t)\times \vec r\,''(t).
\vec r\,'\times \vec r\,'' = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ -\sin t & \cos t & 1\\\\ -\cos t & -\sin t & 0 \end{vmatrix} = (\sin t,\;-\,\cos t,\;1).

Passo 4

Vamos medir o tamanho desse vetor:
\bigl\lVert \vec r\,'\times \vec r\,''\bigr\rVert =\sqrt{\sin^2t +(-\cos t)^2 + 1^2} =\sqrt{\sin^2t +\cos^2t +1} =\sqrt{2}.

Passo 5

Precisamos também de \lVert \vec r\,'(t)\rVert:
\bigl\lVert \vec r\,'(t)\bigr\rVert =\sqrt{(-\sin t)^2+(\cos t)^2+1^2} =\sqrt{\sin^2t+\cos^2t+1} =\sqrt{2}.
Logo
\bigl\lVert \vec r\,'(t)\bigr\rVert^3 =(\sqrt{2})^3 =2\sqrt{2}.

Passo 6

Substituindo na fórmula da curvatura:
\kappa(t) =\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} =\frac12.

Resposta

\displaystyle \kappa(t)=\frac12.

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