Mostre que para a hélice
o módulo do vetor binormal
é constante.
Mostre que para a hélice \vec{r}(t)=(\cos t, \sin t, t) o módulo do vetor binormal \vec{B}(t) é constante.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para a hélice \vec r(t) = (\cos t,\;\sin t,\;t),
o módulo do vetor binormal \vec B(t) é constante.
Para isso, vamos usar a definição do quadro de Frenet:
  1. calcular o versor tangente \vec T(t);
  2. calcular o versor normal principal \vec N(t);
  3. obter o binormal \vec B(t)=\vec T(t)\times\vec N(t);
  4. verificar que \lvert\vec B(t)\rvert independe de t.

Passo 2

Primeiro achamos a derivada
\vec r\,'(t)=(-\sin t,\;\cos t,\;1)
e seu módulo
\lVert \vec r\,'(t)\rVert = \sqrt{(-\sin t)^2+(\cos t)^2+1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}.
Logo o versor tangente é
\vec T(t) =\frac{\vec r\,'(t)}{\lVert \vec r\,'(t)\rVert} =\biggl(-\tfrac{\sin t}{\sqrt2},\;\tfrac{\cos t}{\sqrt2},\;\tfrac1{\sqrt2}\biggr).

Passo 3

Agora calculamos \vec T\,'(t):
\vec T\,'(t) =\Bigl(-\tfrac{\cos t}{\sqrt2},\;-\tfrac{\sin t}{\sqrt2},\;0\Bigr).
O módulo é
\lVert \vec T\,'(t)\rVert =\sqrt{\tfrac{\cos^2 t}{2}+\tfrac{\sin^2 t}{2}} =\sqrt{\tfrac1{2}}=\frac1{\sqrt2}.
Portanto o versor normal principal fica
\vec N(t) =\frac{\vec T\,'(t)}{\lVert \vec T\,'(t)\rVert} =\bigl(-\cos t,\;- \sin t,\;0\bigr).

Passo 4

O vetor binormal é o produto vetorial
\vec B(t) =\vec T(t)\times \vec N(t).
Fazendo o cálculo por determinante, obtemos
\vec B(t) =\Bigl(\tfrac{\sin t}{\sqrt2},\;-\tfrac{\cos t}{\sqrt2},\;\tfrac1{\sqrt2}\Bigr).

Passo 5

Finalmente, o módulo de \vec B(t) é
\lVert \vec B(t)\rVert =\sqrt{\bigl(\tfrac{\sin t}{\sqrt2}\bigr)^2 +\bigl(-\tfrac{\cos t}{\sqrt2}\bigr)^2 +\bigl(\tfrac1{\sqrt2}\bigr)^2} =\sqrt{\tfrac{\sin^2 t+\cos^2 t+1}{2}} =\sqrt{\tfrac{2}{2}} =1.
Vimos que não depende de t.

Resposta

\displaystyle \lvert \vec B(t)\rvert = 1, constante.

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