Calcule d y / d x
y=\frac{3 x-1}{x^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado\n
  • Foi dada a função y=\frac{3x-1}{x^{2}}.\n
  • O pedido é calcular a derivada \dfrac{dy}{dx} dessa função.\n
  • Observação importante: a expressão original está definida apenas para x\neq0, então a derivada só pode ser considerada para x\neq0.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar a expressão para facilitar a diferenciação\n
Vamos separar a fração em duas parcelas e escrever potências de x. Usamos a regra \dfrac{x^{a}}{x^{b}}=x^{a-b}.\n
y=\frac{3x}{x^{2}}-\frac{1}{x^{2}}
y=3x^{1-2}-x^{-2}
y=3x^{-1}-x^{-2}
Agora y está escrita como soma de potências de x, que é o formato mais simples para aplicar regras de derivação.

Passo 3

Revisão das regras de derivação que vamos usar (explicadas devagar)\n
  • Regra do poder (power rule): para qualquer número real n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Aqui x é a variável e n é o expoente. Por exemplo, \dfrac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}.\n
  • Regra da constante multiplicativa: se c é constante e f(x) é função,
\frac{d}{dx}\bigl(c\cdot f(x)\bigr)=c\cdot f'(x).
Por exemplo, \dfrac{d}{dx}(5x^{2})=5\cdot 2x=10x.\n
  • Regra da soma/diferença: a derivada de soma/diferença é a soma/diferença das derivadas:
\frac{d}{dx}\bigl(f(x)\pm g(x)\bigr)=f'(x)\pm g'(x).

Passo 4

Aplicar a regra do poder à primeira parcela \;3x^{-1}\n
  • Trate a constante 3 separadamente (regra da constante multiplicativa) e aplique a regra do poder a x^{-1}:\n
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{-1}\bigr)=3\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr)=3\cdot(-1)\,x^{-2}.
  • Portanto a derivada da primeira parcela é
-3x^{-2}.

Passo 5

Aplicar a regra do poder à segunda parcela \;-x^{-2}\n
  • A expressão é -1\cdot x^{-2}. A derivada é -1 vezes a derivada de x^{-2}:\n
\frac{d}{dx}\bigl(-x^{-2}\bigr)=-1\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{-2}\bigr)=-1\cdot(-2)\,x^{-3}.
  • Portanto a derivada da segunda parcela é
2x^{-3}.

Passo 6

Somar as derivadas das parcelas (regra da soma)\n
\frac{dy}{dx}=-3x^{-2}+2x^{-3}.

Passo 7

Deixar a resposta em forma de fração racional (mais limpa)\n
  • Fatorando x^{-3} ou escrevendo com denominadores, temos:\n
-3x^{-2}+2x^{-3}=x^{-3}(-3x+2)=\frac{2-3x}{x^{3}}.
  • Lembrando que isso vale para \;x\neq0.

Resposta

\dfrac{2-3x}{x^{3}}

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