Calcule
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado\n
- Foi dada a função
.\n - O pedido é calcular a derivada
dessa função.\n - Observação importante: a expressão original está definida apenas para
, então a derivada só pode ser considerada para .
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar a expressão para facilitar a diferenciação\n
Vamos separar a fração em duas parcelas e escrever potências de . Usamos a regra
.\n
Vamos separar a fração em duas parcelas e escrever potências de
Agora
está escrita como soma de potências de
, que é o formato mais simples para aplicar regras de derivação.
Passo 3
Revisão das regras de derivação que vamos usar (explicadas devagar)\n
- Regra do poder (power rule): para qualquer número real
,
Aqui
é a variável e
é o expoente. Por exemplo,
.\n
- Regra da constante multiplicativa: se
é constante e é função,
Por exemplo,
\n
- Regra da soma/diferença: a derivada de soma/diferença é a soma/diferença das derivadas:
Passo 4
Aplicar a regra do poder à primeira parcela
\n
- Trate a constante
separadamente (regra da constante multiplicativa) e aplique a regra do poder a :\n
- Portanto a derivada da primeira parcela é
Passo 5
Aplicar a regra do poder à segunda parcela
\n
- A expressão é
. A derivada é vezes a derivada de :\n
- Portanto a derivada da segunda parcela é
Passo 6
Somar as derivadas das parcelas (regra da soma)\n
Passo 7
Deixar a resposta em forma de fração racional (mais limpa)\n
- Fatorando
ou escrevendo com denominadores, temos:\n
- Lembrando que isso vale para
.