Exemplo: Sya f(x, y)=x^{2}+3 x y+y-1. Calcule f_{x}(4,-5) e f_{y}(4,-5)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}+3xy+y-1 e pede para calcular os dois números:
\;f_{x}(4,-5)\; e \;f_{y}(4,-5).
Informações relevantes:
  • A função é um polinômio em x e y.
  • Precisa-se das derivadas parciais de f em relação a x e a y avaliadas no ponto (4,-5).

Passo 2

O que é derivada parcial? Definição (intuição e fórmula):
  • A derivada parcial de f em relação a x mede a taxa de variação de f quando x muda e y fica fixo.
  • Em forma de limite:
f_{x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
  • Analogamente, a derivada parcial em relação a y é:
f_{y}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}.
Intuição prática: ao calcular f_{x} trata-se y como constante; ao calcular f_{y} trata-se x como constante.

Passo 3

Regras rápidas que usamos (lembrete):
  • Se g(x)=x^{n}, então g'(x)=n x^{n-1}.
  • Se g(x)=a\cdot x com a constante, então g'(x)=a.
  • Quando diferenciamos em relação a x, qualquer termo que não dependa de x é tratado como constante e sua derivada em x é 0. O mesmo vale trocando x por y.

Passo 4

Calcular f_{x}(x,y) aplicando as regras termo a termo:
A função é \,f(x,y)=x^{2}+3xy+y-1.
  • Derivada de x^{2} em relação a x é 2x.
  • Derivada de 3xy em relação a x: aqui 3y é constante (porque derivamos em relação a x), então a derivada é 3y.
  • Derivada de y em relação a x é 0 (pois y é constante).
  • Derivada de -1 em relação a x é 0.
    Assim,
f_{x}(x,y)=2x+3y.

Passo 5

Avaliar f_{x} no ponto (4,-5):
f_{x}(4,-5)=2\cdot 4 + 3\cdot(-5).
Calcule passo a passo:
2\cdot 4=8,\qquad 3\cdot(-5)=-15,
então
f_{x}(4,-5)=8-15=-7.

Passo 6

Calcular f_{y}(x,y) aplicando as regras termo a termo:
Partindo de \,f(x,y)=x^{2}+3xy+y-1,
  • Derivada de x^{2} em relação a y é 0 (pois x^{2} não depende de y).
  • Derivada de 3xy em relação a y: aqui 3x é constante, logo a derivada é 3x.
  • Derivada de y em relação a y é 1.
  • Derivada de -1 em relação a y é 0.
    Portanto,
f_{y}(x,y)=3x+1.

Passo 7

Avaliar f_{y} no ponto (4,-5):
f_{y}(4,-5)=3\cdot 4 + 1.
Calcule:
3\cdot 4=12,\qquad 12+1=13,
logo
f_{y}(4,-5)=13.

Resposta

f_{x}(4,-5)=-7
f_{y}(4,-5)=13

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