Calcule d/y d/x nos casos abaixo. y = (x + sen(x) cos(x)) / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas! A gente precisa calcular para a função . Para isso, vamos usar as regras básicas de derivação, como a derivada da soma e a derivada de um produto de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função em duas partes para facilitar a derivação:
Assim, fica mais fácil aplicar as regras de derivação em cada termo.

Passo 3

Vamos derivar o primeiro termo . A derivada de em relação a é 1, então:

Passo 4

Agora, vamos derivar o segundo termo . Para isso, precisamos usar a regra do produto, que é usada quando temos o produto de duas funções. A regra diz que:
Aqui, temos e .

Passo 5

Primeiro, vamos encontrar as derivadas de e :

Passo 6

Aplicando a regra do produto:

Passo 7

Então, a derivada de é:

Passo 8

Agora, juntando as derivadas dos dois termos:
Podemos simplificar somando as frações:

Resposta

A derivada da função é:

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