Calcule:
Dados os números complexos abaixo, calcule:
\left\{\begin{array}{l}Z_{1}=2\left[\cos \left(\frac{\pi}{4}\right)+i \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{4}\right)\right] \\\ Z_{1}=4\left[\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)+i \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)\right] \text { e } Z_{3}=\left[\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)+i \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{3}\right)\right]\end{array}\right.
e

Passo 1

O enunciado fornecido está assim (copiei exatamente o que veio):
\left\{\begin{array}{l} Z_{1}=2\left[\cos \left(\frac{\pi}{4}\right)+i \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{4}\right)\right] \\\ Z_{1}=4\left[\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)+i \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)\right] \text{ e } Z_{3}=\left[\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)+i \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{3}\right)\right] \end{array}\right.
Informações que eu tenho e observações importantes:
  • O enunciado dá três expressões em forma trigonométrica (forma polar) para números complexos.
  • Há uma aparente tipografia: a segunda linha repetiu Z_{1}; muito provavelmente essa segunda linha deveria ser Z_{2}. Estou apenas reportando isso — não vou assumir automaticamente algo mais além dessa provável correção.
  • O enunciado termina com um “e” e não diz explicitamente o que devemos calcular (por exemplo: soma, produto, módulo, argumentos, potências, etc.). Assim, a pergunta está incompleta: falta dizer qual operação ou qual resultado final se deseja.
  • Posso, no entanto, a partir do que foi dado, transformar essas formas trigonométricas em forma retangular (a + ib) e calcular módulos e argumentos — coisas que geralmente são úteis em provas. Vou fazer isso para te ajudar, mas se você queria outra operação específica, me avise depois. Não posso dar uma “resposta final” ao que o enunciado pede porque o enunciado não especifica o que pedir.

Passo 2

Breve aula: como converter da forma trigonométrica para a forma retangular.
  • Forma trigonométrica (polar) geral: \displaystyle z = r\bigl(\cos\theta + i\cdot\operatorname{sen}\theta\bigr). Aqui:
    • \displaystyle r é o módulo de z (distância do ponto à origem no plano complexo), com r\ge0.
    • \displaystyle \theta é o argumento de z (o ângulo que o vetor faz com o eixo real, em radianos).
  • Conversão para forma retangular: multiplicamos r por \cos\theta e por \operatorname{sen}\theta: z = r\cos\theta + i\bigl(r\operatorname{sen}\theta\bigr).
  • Exemplos de valores trigonométricos que vamos usar (de cabeça; decorados):
    • \displaystyle \cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \displaystyle \operatorname{sen}\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
    • \displaystyle \cos\frac{\pi}{2}=0, \displaystyle \operatorname{sen}\frac{\pi}{2}=1.
    • \displaystyle \cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}, \displaystyle \operatorname{sen}\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 3

Converter o primeiro número dado ( Z_{1}) para a forma retangular passo a passo. Usando a expressão fornecida:
Z_{1}=2\left[\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\cdot\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{4}\right)\right].
Substituindo os valores de \cos e \operatorname{sen}:
Z_{1}=2\left[\frac{\sqrt{2}}{2}+i\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\right].
Multiplicando 2 por cada termo:
Z_{1}=\sqrt{2}+i\sqrt{2}.
Podemos também factorar \sqrt{2}:
Z_{1}=\sqrt{2}\,(1+i).

Passo 4

Converter o segundo número (provavelmente Z_{2}; aqui vou tratar a segunda linha como Z_{2}) para a forma retangular:
Z_{2}=4\left[\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+i\cdot\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)\right].
Substituindo \cos\frac{\pi}{2}=0 e \operatorname{sen}\frac{\pi}{2}=1:
Z_{2}=4\left[0+i\cdot 1\right]=4i.

Passo 5

Converter o terceiro número ( Z_{3}) para a forma retangular:
Z_{3}=\left[\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)+i\cdot\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{3}\right)\right].
Substituindo \cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2} e \operatorname{sen}\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}:
Z_{3}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}.
Podemos factorar \tfrac{1}{2}:
Z_{3}=\frac{1}{2}\,(1+i\sqrt{3}).

Passo 6

Calcular os módulos e argumentos (verificação útil):
  • Pelo enunciado, os módulos já aparecem como os fatores na forma trigonométrica:
    • |Z_{1}|=2 e \arg(Z_{1})=\frac{\pi}{4}.
    • |Z_{2}|=4 e \arg(Z_{2})=\frac{\pi}{2}.
    • |Z_{3}|=1 e \arg(Z_{3})=\frac{\pi}{3}.
  • Verificação rápida a partir da forma retangular:
    • Para Z_{1}=\sqrt{2}+i\sqrt{2}, |Z_{1}|=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2,e o argumento \theta satisfaz \tan\theta=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1, logo \theta=\frac{\pi}{4} no quadrante correto.
    • Para Z_{2}=4i, |Z_{2}|=\sqrt{0^{2}+4^{2}}=4,\quad \arg(Z_{2})=\frac{\pi}{2}.
    • Para Z_{3}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}, |Z_{3}|=\sqrt{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}} =\sqrt{\tfrac{1}{4}+\tfrac{3}{4}}=\sqrt{1}=1,e \arg(Z_{3})=\frac{\pi}{3}.

Passo 7

Dica de prova (aula curta de método): operações comuns em forma trigonométrica — isto é super útil na prova e muito mais rápido do que fazer pela forma retangular.
  • Multiplicação: se z_{1}=r_{1}(\cos\theta_{1}+i\operatorname{sen}\theta_{1}) e z_{2}=r_{2}(\cos\theta_{2}+i\operatorname{sen}\theta_{2}), então z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}\bigl(\cos(\theta_{1}+\theta_{2})+i\operatorname{sen}(\theta_{1}+\theta_{2})\bigr).Exemplinho rápido com nossos valores (só para treinar): calcular Z_{1}Z_{3}:
    • r_{1}=2, r_{3}=1; \theta_{1}=\tfrac{\pi}{4}, \theta_{3}=\tfrac{\pi}{3}.
    • Produto de módulos: 2\cdot 1=2.
    • Soma de argumentos: \tfrac{\pi}{4}+\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{3\pi+4\pi}{12}=\tfrac{7\pi}{12}.
    • Logo Z_{1}Z_{3}=2\bigl(\cos\tfrac{7\pi}{12}+i\operatorname{sen}\tfrac{7\pi}{12}\bigr).
    (Se você quiser, eu mostro como passar esse resultado para forma retangular.)
  • Divisão: a divisão é análoga, dividimos os módulos e subtraímos os argumentos.
  • Potência de De Moivre: \bigl(r(\cos\theta+i\operatorname{sen}\theta)\bigr)^{n}=r^{n}\bigl(\cos(n\theta)+i\operatorname{sen}(n\theta)\bigr).

Resposta

Não é possível fornecer a resposta pedida, pois o enunciado está incompleto — falta dizer qual operação ou resultado deve ser calculado.

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