Calcule:
Calcule z_{1} \cdot z_{2}, cujos os números complexos z_{1} e z_{2}, são:
a) z_{1}=2\left[\cos \left(\frac{2 \pi}{5}\right)+\operatorname{isen}\left(\frac{2 \pi}{5}\right)\right] e z_{2}=3\left[\cos \left(\frac{3 \pi}{5}\right)+\operatorname{isen}\left(\frac{3 \pi}{5}\right)\right].
R:
b) z_{1}=3\left[\cos \left(\frac{2 \pi}{6}\right)+\operatorname{isen}\left(\frac{2 \pi}{6}\right)\right] e z_{2}=2\left[\cos \left(\frac{5 \pi}{6}\right)+\operatorname{isen}\left(\frac{5 \pi}{6}\right)\right].
R:
c) z_{1}=\frac{3}{2}\left[\cos \left(\frac{7 \pi}{12}\right)+\operatorname{isen}\left(\frac{7 \pi}{12}\right)\right] e z_{2}=2\left[\cos \left(\frac{11 \pi}{12}\right)+\operatorname{isen}\left(\frac{11 \pi}{12}\right)\right]
R:

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto z_{1}\cdot z_{2} em três casos (a), (b) e (c). As informações dadas são:
a) z_{1}=2\left[\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)+\operatorname{isen}\left(\frac{2\pi}{5}\right)\right] e z_{2}=3\left[\cos\left(\frac{3\pi}{5}\right)+\operatorname{isen}\left(\frac{3\pi}{5}\right)\right].
b) z_{1}=3\left[\cos\left(\frac{2\pi}{6}\right)+\operatorname{isen}\left(\frac{2\pi}{6}\right)\right] e z_{2}=2\left[\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)+\operatorname{isen}\left(\frac{5\pi}{6}\right)\right].
c) z_{1}=\frac{3}{2}\left[\cos\left(\frac{7\pi}{12}\right)+\operatorname{isen}\left(\frac{7\pi}{12}\right)\right] e z_{2}=2\left[\cos\left(\frac{11\pi}{12}\right)+\operatorname{isen}\left(\frac{11\pi}{12}\right)\right].
Observação: no enunciado aparece \operatorname{isen}(\theta). Vou interpretar isso como i\sin(\theta) (ou seja, o formato trigonométrico usual r(\cos\theta+i\sin\theta)). Não vou resolver ainda; só listei o que foi dado.

Passo 2

Antes de multiplicar: vamos lembrar e demonstrar a regra que usamos. Seja
z_{1}=r_{1}\big(\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1}\big),\qquad z_{2}=r_{2}\big(\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2}\big).
Multiplicando termo a termo:
z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}\big(\cos\theta_{1}\cos\theta_{2}-\sin\theta_{1}\sin\theta_{2} +i(\sin\theta_{1}\cos\theta_{2}+\cos\theta_{1}\sin\theta_{2})\big).
Usando as identidades trigonométricas de soma de ângulos
\cos(\theta_{1}+\theta_{2})=\cos\theta_{1}\cos\theta_{2}-\sin\theta_{1}\sin\theta_{2},
\sin(\theta_{1}+\theta_{2})=\sin\theta_{1}\cos\theta_{2}+\cos\theta_{1}\sin\theta_{2},
obtemos a forma simples:
\boxed{\,z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}\big(\cos(\theta_{1}+\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}+\theta_{2})\big)\,}.
Ou seja: ao multiplicar complexos em forma trigonométrica, multiplicam-se os módulos e somam-se os argumentos. Nesta fórmula r_{1},r_{2} são módulos (números positivos) e \theta_{1},\theta_{2} são os ângulos (em radianos).

Passo 3

Procedimento prático para a prova (passo a passo que vou usar em cada item):
  1. Identifico r_{1},\theta_{1},r_{2},\theta_{2} a partir das expressões dadas.
  2. Calculo r=r_{1}r_{2}.
  3. Calculo \theta=\theta_{1}+\theta_{2}. Se quiser, reduzo \theta a um ângulo conhecido (adicionando ou subtraindo múltiplos de 2\pi), mas não é obrigatório.
  4. Avalio \cos\theta e \sin\theta usando a circunferência trigonométrica (valores padrão) e escrevo o produto seja na forma trigonométrica ou na forma cartesiana a+bi.
Agora aplico isso para cada item.

Passo 4

(a) Identificação: r_{1}=2, \theta_{1}=\dfrac{2\pi}{5}; r_{2}=3, \theta_{2}=\dfrac{3\pi}{5}.
Produto dos módulos:
r=r_{1}r_{2}=2\cdot 3=6.
Soma dos argumentos:
\theta=\theta_{1}+\theta_{2}=\frac{2\pi}{5}+\frac{3\pi}{5}=\pi.
Avalio as razões trigonométricas em \pi:
\cos\pi=-1,\qquad \sin\pi=0.
Logo, aplicando a fórmula do Passo 2,
z_{1}z_{2}=6\big(\cos\pi+i\sin\pi\big)=6(-1+ i\cdot 0)=-6.

Passo 5

(b) Identificação: r_{1}=3, \theta_{1}=\dfrac{2\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}; r_{2}=2, \theta_{2}=\dfrac{5\pi}{6}.
Produto dos módulos:
r=r_{1}r_{2}=3\cdot 2=6.
Soma dos argumentos:
\theta=\frac{\pi}{3}+\frac{5\pi}{6}=\frac{2\pi}{6}+\frac{5\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}.
Agora avalio \cos e \sin em \frac{7\pi}{6}. Lembrando a posição no círculo unitário: \frac{7\pi}{6}=\pi+\frac{\pi}{6}, ou seja, terceiro quadrante? na verdade \pi+\frac{\pi}{6} está no terceiro quarto? Corrigindo: \pi+\frac{\pi}{6} é no terceiro quadrante — ambos seno e cosseno negativos. Valores de referência em \frac{\pi}{6}:
\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}.
Portanto
\cos\frac{7\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\frac{7\pi}{6}=-\frac{1}{2}.
Multiplicando pelo módulo 6:
z_{1}z_{2}=6\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+i\left(-\frac{1}{2}\right)\right) =6\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+6\left(-\frac{1}{2}\right)i =-3\sqrt{3}-3i.

Passo 6

(c) Identificação: r_{1}=\dfrac{3}{2}, \theta_{1}=\dfrac{7\pi}{12}; r_{2}=2, \theta_{2}=\dfrac{11\pi}{12}.
Produto dos módulos:
r=r_{1}r_{2}=\frac{3}{2}\cdot 2=3.
Soma dos argumentos:
\theta=\frac{7\pi}{12}+\frac{11\pi}{12}=\frac{18\pi}{12}=\frac{3\pi}{2}.
Avalio \cos e \sin em \frac{3\pi}{2}:
\cos\frac{3\pi}{2}=0,\qquad \sin\frac{3\pi}{2}=-1.
Portanto
z_{1}z_{2}=3\big(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}\big)=3(0+i(-1))=-3i.

Resposta

a) -6
b) -3\sqrt{3}-3i
c) -3i

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