Calcule:
Calcule
, cujos os números complexos
e
, são:
a)
e
.
R:
b)
e
.
R:
c)
e
R:
Calcule
a)
R:
b)
R:
c)
R:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o produto
em três casos (a), (b) e (c). As informações dadas são:
a)
e
.
b)
e
.
c)
e
.
Observação: no enunciado aparece
. Vou interpretar isso como
(ou seja, o formato trigonométrico usual
). Não vou resolver ainda; só listei o que foi dado.
Passo 2
Antes de multiplicar: vamos lembrar e demonstrar a regra que usamos. Seja
Multiplicando termo a termo:
Usando as identidades trigonométricas de soma de ângulos
obtemos a forma simples:
Ou seja: ao multiplicar complexos em forma trigonométrica, multiplicam-se os módulos e somam-se os argumentos. Nesta fórmula
são módulos (números positivos) e
são os ângulos (em radianos).
Passo 3
Procedimento prático para a prova (passo a passo que vou usar em cada item):
- Identifico
a partir das expressões dadas. - Calculo
. - Calculo
. Se quiser, reduzo a um ângulo conhecido (adicionando ou subtraindo múltiplos de ), mas não é obrigatório. - Avalio
e usando a circunferência trigonométrica (valores padrão) e escrevo o produto seja na forma trigonométrica ou na forma cartesiana .
Agora aplico isso para cada item.
Passo 4
(a) Identificação:
,
;
,
.
Produto dos módulos:
Produto dos módulos:
Soma dos argumentos:
Avalio as razões trigonométricas em
:
Logo, aplicando a fórmula do Passo 2,
Passo 5
(b) Identificação:
,
;
,
.
Produto dos módulos:
Produto dos módulos:
Soma dos argumentos:
Agora avalio
e
em
. Lembrando a posição no círculo unitário:
, ou seja, terceiro quadrante? na verdade
está no terceiro quarto? Corrigindo:
é no terceiro quadrante — ambos seno e cosseno negativos. Valores de referência em
:
Portanto
Multiplicando pelo módulo
:
Passo 6
(c) Identificação:
,
;
,
.
Produto dos módulos:
Produto dos módulos:
Soma dos argumentos:
Avalio
e
em
:
Portanto
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)