Calcule a densidade atômica linear, em átomos por milímetro, das seguintes direções do tântalo (Ta) que tem estrutura CCC, com parâmetro de rede 0,33026 \mathrm{~nm} :
[111].

Passo 1

O enunciado pede a densidade atômica linear (número de átomos por unidade de comprimento) na direção [111] de um cristal de tântalo (Ta) com estrutura cúbica de corpo centrado (CCC) e parâmetro de rede a = 0,33026\;\mathrm{nm}. Para resolver, precisamos saber (1) o comprimento do vetor-linha elementar na direção [111] e (2) quantos átomos estão “alinhados” ao longo desse segmento repetitivo.

Passo 2

Definimos a densidade atômica linear como
\mathrm{LD} = \frac{N}{L},
onde N é o número de átomos cujos centros caem exatamente sobre a linha unitária repetitiva e L é o comprimento real desse segmento de repetição.

Passo 3

Em uma estrutura CCC, a menor repetição na direção [111] vai de (0,0,0) até (1,1,1) em coordenadas de rede. O comprimento desse vetor é
L = a\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = a\sqrt{3}.

Passo 4

Dentro desse segmento de comprimento L encontramos:
– Um átomo no nó de rede em (0,0,0) – está na extremidade.
– Um átomo no corpo da célula em (\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12) – está inteiramente no interior do segmento.
– Um átomo no nó de rede em (1,1,1) – está na outra extremidade.
Cada nó de rede na extremidade conta como metade de um átomo (pois é compartilhado com o segmento adjacente). Assim
N = \frac12 + 1 + \frac12 = 2.

Passo 5

Substituindo N=2 e L = a\sqrt3 em
\mathrm{LD} = \frac{2}{a\sqrt3},
e convertendo a para milímetros:
a = 0{,}33026\;\mathrm{nm} = 0{,}33026\times10^{-6}\;\mathrm{mm} = 3{,}3026\times10^{-7}\;\mathrm{mm},
temos
L = 3{,}3026\times10^{-7}\;\mathrm{mm}\times\sqrt3 \approx 5{,}7208\times10^{-7}\;\mathrm{mm},
\mathrm{LD} = \frac{2}{5{,}7208\times10^{-7}\;\mathrm{mm}} \approx 3{,}50\times10^{6}\;\text{átomos/mm}.á

Resposta

A densidade atômica linear na direção [111] vale aproximadamente
3{,}50\times10^{6}\;\text{átomos por milímetro}.áí

Exercícios relacionados