Calcule a densidade de elétrons que o cristal cúbico de face centrada da prata (valência 1) deve apresentar para que a esfera de Fermi toque a borda da primeira zona de Brillouin. 2
O conteúdo apresentado em sala de aula está nas seguintes seções do livro de Física Quântica de Eisberg e Resnick:
- Capítulo 1 - seções 1.1 até 1.4;
- Capítulo 3 - seções 3.1, 3.2, 3.4 e 3.5;
- Capítulo 4 - seções 4.3, 4.4, 4.5 e 4.6;
- Capítulo 5 - seções 5.1-5.3 e 5.5;
s;
. O parâmetro de rede da prata é
.
- Capítulo 6 - seções 6.1 e 6.2;
- Capítulo 7 - seções 7.1 até 7.7 (para leitura).
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos.
- Pedido: calcular a densidade de elétrons (n) que o cristal cúbico de face centrada (FCC) da prata (valência 1) deve ter para que a esfera de Fermi toque a borda da primeira zona de Brillouin.
- Dados fornecidos e que usaremos:
- parâmetro de rede da prata:
; - constantes físicas (fornecidas):
e . (Observação: não precisamos de ou para a relação básica entre e usada aqui, mas os valores foram informados.)
- parâmetro de rede da prata:
- Observação importante sobre o objetivo geométrico: “a esfera de Fermi tocar a borda da primeira zona de Brillouin” significa que o raio da esfera de Fermi
deve ser igual a metade do menor vetor de rede recíproca não nulo (isto é, ). Não usamos suposições extras além disso.
Passo 2
Encontrar o menor vetor da rede recíproca para a rede FCC.
Explicação curta do que é necessário: a rede direta FCC tem vetores primitivos (uma escolha conveniente)
Os vetores recíprocos primitivos
satisfazem
. Calculando (padrão da álgebra vetorial) obtém-se
Qualquer vetor recíproco pode ser escrito como combinação inteira
. Os vetores de menor magnitude correspondem, por exemplo, às combinações que dão componentes
. Assim o menor módulo de vetor recíproco não nulo é
Passo 3
Condição geométrica para a esfera de Fermi tocar a borda da primeira zona de Brillouin.
- A borda da primeira zona de Brillouin está a meio caminho entre
e o primeiro plano de Bragg, isto é, a distância até o plano é . - Então a condição pedida é
Aqui explico o porquê físico de forma simples: os planos de Bragg estão definidos pelos vetores recíprocos
, e o primeiro plano que limita a zona encontra-se a uma distância
da origem em k-espaço; se a esfera de Fermi atinge essa distância ela “toca” a zona.
Passo 4
Relação entre a densidade de elétrons
e o raio
da esfera de Fermi (modelo do elétron livre).
A maneira de contar estados em k-espaço (explicação didática):
- Cada estado quântico numa caixa de volume
ocupa um volume em k-espaço. - Contando todas as direções e somando as duas polarizações de spin (degeneração 2), o número de elétrons por volume com
é
Fazendo as contas (simplificando fatores),
Esta é a fórmula padrão relacionando densidade eletrônica e
no modelo do gás de elétrons livres (expliquei cada fator: 2 pela spin,
pela densidade de estados em k).
Passo 5
Substituir
na fórmula de
e simplificar simbolicamente.
Substituição:
Desenvolvendo:
Simplificando
e o fator
cancela com o denominador:
Portanto a expressão fechada é
Passo 6
Avaliar numericamente com
.
Primeiro calcule
:
Agora calcule o numerador
:
Logo
Convertendo para
(lembrando que
):
Comentário adicional útil (comparação com a prata real, que tem valência 1): número de átomos por volume numa FCC é
, então a densidade de elétrons se cada átomo doar 1 elétron seria
Comparando, o
necessário para tocar a borda da primeira zona é maior (aprox.
), ou seja é cerca de
vezes a densidade eletrônica de um elétron por átomo: portanto, com valência 1 a prata real não atinge essa condição (a esfera de Fermi fica menor que a primeira zona).