Calcule a densidade de elétrons que o cristal cúbico de face centrada da prata (valência 1) deve apresentar para que a esfera de Fermi toque a borda da primeira zona de Brillouin. 2
O conteúdo apresentado em sala de aula está nas seguintes seções do livro de Física Quântica de Eisberg e Resnick:
  • Capítulo 1 - seções 1.1 até 1.4;
  • Capítulo 3 - seções 3.1, 3.2, 3.4 e 3.5;
  • Capítulo 4 - seções 4.3, 4.4, 4.5 e 4.6;
  • Capítulo 5 - seções 5.1-5.3 e 5.5;
    { }^{2} h=6,63 \times 10^{-34} \mathrm{~J} s; m_{e}=9,11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}. O parâmetro de rede da prata é 0,408 \mathrm{~nm}.
  • Capítulo 6 - seções 6.1 e 6.2;
  • Capítulo 7 - seções 7.1 até 7.7 (para leitura).

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos.
  • Pedido: calcular a densidade de elétrons (n) que o cristal cúbico de face centrada (FCC) da prata (valência 1) deve ter para que a esfera de Fermi toque a borda da primeira zona de Brillouin.
  • Dados fornecidos e que usaremos:
    • parâmetro de rede da prata: a = 0,408\\ \text{nm} = 0,408\times10^{-9}\\ \text{m};
    • constantes físicas (fornecidas): h = 6,63\times10^{-34}\\ \text{J·s} e m_e = 9,11\times10^{-31}\\ \text{kg}. (Observação: não precisamos de h ou m_e para a relação básica entre k_F e n usada aqui, mas os valores foram informados.)
  • Observação importante sobre o objetivo geométrico: “a esfera de Fermi tocar a borda da primeira zona de Brillouin” significa que o raio da esfera de Fermi k_F deve ser igual a metade do menor vetor de rede recíproca não nulo (isto é, k_F = |G_{\min}|/2). Não usamos suposições extras além disso.

Passo 2

Encontrar o menor vetor da rede recíproca para a rede FCC.
Explicação curta do que é necessário: a rede direta FCC tem vetores primitivos (uma escolha conveniente)
\mathbf{a}_1=\frac{a}{2}(0,1,1),\qquad \mathbf{a}_2=\frac{a}{2}(1,0,1),\qquad \mathbf{a}_3=\frac{a}{2}(1,1,0).
Os vetores recíprocos primitivos \mathbf{b}_i satisfazem \mathbf{a}_i\cdot\mathbf{b}_j=2\pi\delta_{ij}. Calculando (padrão da álgebra vetorial) obtém-se
\mathbf{b}_1=\frac{2\pi}{a}(-1,1,1),\qquad \mathbf{b}_2=\frac{2\pi}{a}(1,-1,1),\qquad \mathbf{b}_3=\frac{2\pi}{a}(1,1,-1).
Qualquer vetor recíproco pode ser escrito como combinação inteira \mathbf{G}=m_1\mathbf{b}_1+m_2\mathbf{b}_2+m_3\mathbf{b}_3. Os vetores de menor magnitude correspondem, por exemplo, às combinações que dão componentes (\pm1,\pm1,\pm1). Assim o menor módulo de vetor recíproco não nulo é
|G_{\min}|=\frac{2\pi}{a}\sqrt{(-1)^2+1^2+1^2}=\frac{2\pi}{a}\sqrt{3}.

Passo 3

Condição geométrica para a esfera de Fermi tocar a borda da primeira zona de Brillouin.
  • A borda da primeira zona de Brillouin está a meio caminho entre \mathbf{k}=0 e o primeiro plano de Bragg, isto é, a distância até o plano é |G_{\min}|/2.
  • Então a condição pedida é
k_F=\frac{|G_{\min}|}{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2\pi}{a}\sqrt{3}=\frac{\pi\sqrt{3}}{a}.
Aqui explico o porquê físico de forma simples: os planos de Bragg estão definidos pelos vetores recíprocos \mathbf{G}, e o primeiro plano que limita a zona encontra-se a uma distância |G|/2 da origem em k-espaço; se a esfera de Fermi atinge essa distância ela “toca” a zona.

Passo 4

Relação entre a densidade de elétrons n e o raio k_F da esfera de Fermi (modelo do elétron livre).
A maneira de contar estados em k-espaço (explicação didática):
  • Cada estado quântico numa caixa de volume V ocupa um volume (2\pi)^3/V em k-espaço.
  • Contando todas as direções e somando as duas polarizações de spin (degeneração 2), o número de elétrons por volume com |\mathbf{k}|\le k_F é
n=\frac{2}{(2\pi)^3}\cdot \text{volume da esfera de raio }k_F =\frac{2}{(2\pi)^3}\cdot \frac{4\pi}{3}k_F^3.
Fazendo as contas (simplificando fatores),
n=\frac{k_F^3}{3\pi^2}.
Esta é a fórmula padrão relacionando densidade eletrônica e k_F no modelo do gás de elétrons livres (expliquei cada fator: 2 pela spin, (2\pi)^3 pela densidade de estados em k).

Passo 5

Substituir k_F=\dfrac{\pi\sqrt{3}}{a} na fórmula de n e simplificar simbolicamente.
Substituição:
n=\frac{1}{3\pi^2}\left(\frac{\pi\sqrt{3}}{a}\right)^3.
Desenvolvendo:
n=\frac{1}{3\pi^2}\cdot \frac{\pi^3( \sqrt{3})^3}{a^3} =\frac{1}{3\pi^2}\cdot\frac{\pi^3\cdot 3\sqrt{3}}{a^3}.
Simplificando \pi^3/\pi^2=\pi e o fator 3 cancela com o denominador:
n=\frac{\pi\sqrt{3}}{a^3}.
Portanto a expressão fechada é
\boxed{\,n=\dfrac{\pi\sqrt{3}}{a^3}\, }.

Passo 6

Avaliar numericamente com a=0{,}408\\ \text{nm}=0{,}408\times10^{-9}\\ \text{m}.
Primeiro calcule a^3:
a^3=(0{,}408\times10^{-9}\\ \text{m})^3 =0{,}408^3\times10^{-27}\\ \text{m}^3 \approx 0{,}067888\times10^{-27}\\ \text{m}^3 =6{,}7888\times10^{-29}\\ \text{m}^3.
Agora calcule o numerador \pi\sqrt{3}:
\pi\sqrt{3}\approx 3{,}14159265\times1{,}73205081\approx 5{,}44139809.
Logo
n=\frac{5{,}44139809}{6{,}7888\times10^{-29}}\\ \text{m}^{-3} \approx 8{,}016\times10^{28}\\ \text{m}^{-3}.
Convertendo para \text{cm}^{-3} (lembrando que 1\\ \text{m}^{-3}=10^{-6}\\ \text{cm}^{-3}):
n\approx 8{,}016\times10^{22}\\ \text{cm}^{-3}.
Comentário adicional útil (comparação com a prata real, que tem valência 1): número de átomos por volume numa FCC é 4/a^3, então a densidade de elétrons se cada átomo doar 1 elétron seria
n_{\text{valência}=1}=\frac{4}{a^3}\approx\frac{4}{6{,}7888\times10^{-29}}\approx5{,}894\times10^{28}\\ \text{m}^{-3}.ê
Comparando, o n necessário para tocar a borda da primeira zona é maior (aprox. 8{,}02\times10^{28}\\ \text{m}^{-3}), ou seja é cerca de 1{,}36 vezes a densidade eletrônica de um elétron por átomo: portanto, com valência 1 a prata real não atinge essa condição (a esfera de Fermi fica menor que a primeira zona).

Resposta

n \approx 8{,}02\times10^{28}\\ \text{m}^{-3}\n n \approx 8{,}02\times10^{22}\\ \text{cm}^{-3}

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