Considere um metal bidimensional hipotético de Bário (Ba, grupo 2), organizado em uma rede quadrada de parâmetro de rede a. Admitindo o modelo de elétrons livres e que cada átomo contribui com seus elétrons de valência para a condução, determine o módulo do vetor de onda de Fermi ( k_{F} ) em função de a.

Passo 1

O que o enunciado pede e as informações dadas.
  • Pedido: determinar o módulo do vetor de onda de Fermi \,k_F\, em função do parâmetro de rede \,a\, para um metal bidimensional hipotético de Bário organizado numa rede quadrada, usando o modelo de elétrons livres e assumindo que cada átomo contribui com seus elétrons de valência para a condução.
  • Informações relevantes:
    • O metal é bidimensional (plano) e os átomos formam uma rede quadrada de parâmetro \,a.
    • Cada átomo de Bário (grupo 2) contribui com \,2\, elétrons de valência para a condução.
    • No modelo de elétrons livres, os elétrons ocupam estados no espaço \mathbf{k} até a fronteira de Fermi \,k_F.
  • Objetivo prático: expressar \,k_F apenas em função de \,a.

Passo 2

Converter a informação de “2 elétrons por átomo” em densidade superficial de elétrons (número de elétrons por área).
  • Em uma rede quadrada de parâmetro \,a, a área por átomo é \,a^2.
  • Como cada átomo fornece \,2 elétrons de condução, a densidade superficial de elétrons (número de elétrons por unidade de área) é
n \equiv \frac{N}{A}=\frac{2}{a^2},
onde N é o número total de elétrons e A é a área do sistema.
Explicação: densidade superficial significa “quantos elétrons existem por metro quadrado (ou por unidade de área)”. Aqui temos 2 elétrons espalhados por cada célula de área a^2, logo 2/a^2.

Passo 3

Contar estados ocupados em k-espaço para o gás de elétrons bidimensional (no modelo de elétrons livres) e relacionar com a densidade n.
  • Ideia física: em 2D os estados no espaço de vetores de onda \mathbf{k} ocupam uma área no plano \mathbf{k}. Os elétrons ocupam todos os estados com |\mathbf{k}|\le k_F (círculo de raio k_F).
  • Cada estado discreto de \mathbf{k} (com condições de contorno periódicas) ocupa uma área no plano \mathbf{k} igual a \dfrac{(2\pi)^2}{A}, onde A é a área física do sistema. Isso vem da quantização dos \mathbf{k} por condições de contorno (explicação: em 1D cada modo tem espaçamento 2\pi/L; em 2D a área por ponto é (2\pi/L)^2=(2\pi)^2/A).
  • Há fator de degenerescência de spin g_s=2 (cada estado de \mathbf{k} pode ser ocupado por 2 elétrons com spins opostos).
  • Número de estados (ocupados) dentro do círculo de raio k_F:
N = g_s \times \frac{\text{área do círculo}}{\text{área por estado}} = 2 \times \frac{\pi k_F^2}{(2\pi)^2/A} .áíá
  • Simplificando a expressão para a densidade n=N/A:
n = \frac{N}{A} = 2 \times \frac{\pi k_F^2}{(2\pi)^2} \times \frac{1}{A}\cdot A
ou de forma direta e mais simples,
n=\frac{k_F^2}{2\pi}.
Explicação detalhada das etapas algébricas: no numerador vem a área do círculo \pi k_F^2 multiplicada por 2 (spin). No denominador vem (2\pi)^2/A; ao dividir e cancelar A aparece a relação acima. Essa relação é a fórmula padrão para densidade de um gás de elétrons livre em 2D.

Passo 4

Isolar k_F e substituir a densidade encontrada no Passo 2.
  • Da relação do Passo 3 temos
n=\frac{k_F^2}{2\pi}.
  • Isolando k_F:
k_F=\sqrt{2\pi\,n}.
  • Substituindo n=\dfrac{2}{a^2} (do Passo 2):
k_F=\sqrt{2\pi\cdot\frac{2}{a^2}}=\sqrt{\frac{4\pi}{a^2}}=\frac{2\sqrt{\pi}}{a}.
Explicação: os passos são apenas álgebra simples de raíz quadrada; a unidade final é \text{m}^{-1} (inverso de comprimento), como deve ser um vetor de onda.

Passo 5

Comentários finais, interpretação física e checagem rápida.
  • Interpretando: quanto menor o parâmetro de rede \,a\, (átomos mais próximos), maior a densidade eletrônica e maior o raio do círculo de Fermi \,k_F.
  • A fórmula final é simples e escalável: k_F é proporcional a 1/a com fator numérico 2\sqrt{\pi}.
  • Unidade: se \,a estiver em metros, então \,k_F estará em metros inversos (\text{m}^{-1}).
  • Observação sobre hipótese: usamos que cada átomo contribui com 2 elétrons livres e que o sistema é estritamente bidimensional; se houvesse ocupação de múltiplas camadas ou outros elétrons participando, a densidade mudaria e o resultado seria diferente.

Resposta

k_F=\dfrac{2\sqrt{\pi}}{a}

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