Considere um metal bidimensional hipotético de Bário (Ba, grupo 2), organizado em uma rede quadrada de parâmetro de rede
. Admitindo o modelo de elétrons livres e que cada átomo contribui com seus elétrons de valência para a condução, determine o módulo do vetor de onda de Fermi (
) em função de
.
Passo 1
O que o enunciado pede e as informações dadas.
- Pedido: determinar o módulo do vetor de onda de Fermi
em função do parâmetro de rede para um metal bidimensional hipotético de Bário organizado numa rede quadrada, usando o modelo de elétrons livres e assumindo que cada átomo contribui com seus elétrons de valência para a condução. - Informações relevantes:
- O metal é bidimensional (plano) e os átomos formam uma rede quadrada de parâmetro
. - Cada átomo de Bário (grupo 2) contribui com
elétrons de valência para a condução. - No modelo de elétrons livres, os elétrons ocupam estados no espaço
até a fronteira de Fermi .
- O metal é bidimensional (plano) e os átomos formam uma rede quadrada de parâmetro
- Objetivo prático: expressar
apenas em função de .
Passo 2
Converter a informação de “2 elétrons por átomo” em densidade superficial de elétrons (número de elétrons por área).
- Em uma rede quadrada de parâmetro
, a área por átomo é . - Como cada átomo fornece
elétrons de condução, a densidade superficial de elétrons (número de elétrons por unidade de área) é
onde
é o número total de elétrons e
é a área do sistema.
Explicação: densidade superficial significa “quantos elétrons existem por metro quadrado (ou por unidade de área)”. Aqui temos 2 elétrons espalhados por cada célula de área , logo
.
Explicação: densidade superficial significa “quantos elétrons existem por metro quadrado (ou por unidade de área)”. Aqui temos 2 elétrons espalhados por cada célula de área
Passo 3
Contar estados ocupados em k-espaço para o gás de elétrons bidimensional (no modelo de elétrons livres) e relacionar com a densidade
.
- Ideia física: em 2D os estados no espaço de vetores de onda
ocupam uma área no plano . Os elétrons ocupam todos os estados com (círculo de raio ). - Cada estado discreto de
(com condições de contorno periódicas) ocupa uma área no plano igual a , onde é a área física do sistema. Isso vem da quantização dos por condições de contorno (explicação: em 1D cada modo tem espaçamento ; em 2D a área por ponto é ). - Há fator de degenerescência de spin
(cada estado de pode ser ocupado por 2 elétrons com spins opostos). - Número de estados (ocupados) dentro do círculo de raio
:
- Simplificando a expressão para a densidade
:
ou de forma direta e mais simples,
Explicação detalhada das etapas algébricas: no numerador vem a área do círculo
multiplicada por 2 (spin). No denominador vem
; ao dividir e cancelar
aparece a relação acima. Essa relação é a fórmula padrão para densidade de um gás de elétrons livre em 2D.
Passo 4
Isolar
e substituir a densidade encontrada no Passo 2.
- Da relação do Passo 3 temos
- Isolando
:
- Substituindo
(do Passo 2):
Explicação: os passos são apenas álgebra simples de raíz quadrada; a unidade final é
(inverso de comprimento), como deve ser um vetor de onda.
Passo 5
Comentários finais, interpretação física e checagem rápida.
- Interpretando: quanto menor o parâmetro de rede
(átomos mais próximos), maior a densidade eletrônica e maior o raio do círculo de Fermi . - A fórmula final é simples e escalável:
é proporcional a com fator numérico . - Unidade: se
estiver em metros, então estará em metros inversos . - Observação sobre hipótese: usamos que cada átomo contribui com 2 elétrons livres e que o sistema é estritamente bidimensional; se houvesse ocupação de múltiplas camadas ou outros elétrons participando, a densidade mudaria e o resultado seria diferente.