Calcule a densidade linear para as direções (100), (111) das estruturas CFC e CCC. Considerando as densidades linear das direções 100 e 111 qual das direções apresentam melhor condutividade elétrica.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a densidade linear de átomos nas direções [100] e [111] em estruturas cúbicas de faces centradas (CFC) e cúbicas de corpo centrado (CCC).
O conteúdo é cristalografia: a densidade linear rhoL é o número de átomos cujos centros pertencem à linha de direção considerada, dividido pelo comprimento do vetor diretor mínimo que repete a rede.

Passo 2

Cálculo em CFC, direção [100].
— A célula convencional tem aresta de comprimento ,a.
— A linha [100] vai de um nó de retículo no canto (0,0,0) até o nó equivalente em (1,0,0), comprimento a.
— Os únicos átomos que estão exatamente nessa linha são os de canto: dois cantos, cada um contribuindo com 1/8 de átomo por célula.
— Número total de átomos na célula sobre [100]:
N = 2 times 18 = 14
— Logo
rhoL^rm CFC[100] = Ncomprimento = tfrac14a = 14,a

Passo 3

Cálculo em CFC, direção [111].
— A linha [111] se estende de (0,0,0) a (1,1,1), comprimento raiz3,a.
— Em CFC não há átomos de face nem de corpo em (tfrac12,tfrac12,tfrac12), só os cantos.
— Número total de átomos na célula sobre [111]:
N = 2 times 18 = 14
— Logo
rhoL^rm CFC[111] = tfrac14raiz3,a = 14,raiz3,a

Passo 4

Cálculo em CCC, direção [100].
— A linha [100] (comprimento a) passa apenas pelos átomos de canto, pois o átomo de corpo em (tfrac12,tfrac12,tfrac12) não está em [100].
— Então
N = 2 times 18 = 14,
e
rhoL^rm CCC[100] = tfrac14a = 14,a

Passo 5

Cálculo em CCC, direção [111].
— A linha [111] (comprimento raiz3,a) passa pelos cantos em (0,0,0) e (1,1,1) e pelo átomo de corpo em (tfrac12,tfrac12,tfrac12).
— Contribuições: cantos 2timestfrac18=tfrac14 mais um átomo inteiro do corpo cental.
— Total
N = 14 + 1 = 54
— Logo
rhoL^rm CCC[111] = tfrac54raiz3,a = 54,raiz3,a

Passo 6

Comparando valores (em unidades de 1/a):
— CFC:
rhoL[100] = 14,aapprox 0,25/a, rhoL[111] = 14,raiz3,aapprox 0,144/a,
logo [100] é mais denso que [111].
— CCC:
rhoL[100] = 14,aapprox 0,25/a, rhoL[111] = 54,raiz3,aapprox 0,72/a,
logo [111] é mais denso que [100].
Em metais, maior densidade linear favorece condução elétrica, pois há mais átomos alinhados para transmitir elétrons.

Resposta

Em CFC, rhoL[100]=tfrac14a e rhoL[111]=tfrac14raiz3,a, portanto [100] tem melhor condutividade.
Em CCC, rhoL[100]=tfrac14a e rhoL[111]=tfrac54raiz3,a, portanto [111] tem melhor condutividade.

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