Calcule a densidade linear e o fator de empacotamento linear no sistema CS para a direção [011], supondo ligações metálicas entre os átomos e que o parâmetro de rede seja 4 Å.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Pedido: calcular (i) a densidade linear e (ii) o fator de empacotamento linear para a direção
no sistema cúbico simples (CS), assumindo ligações metálicas (átomos como esferas) e parâmetro de rede . - Dados relevantes:
- Tipo de rede: cúbica simples (CS).
- Direção cristalográfica:
. - Parâmetro de rede:
. - Ligações metálicas → átomos podem ser tratados como esferas rígidas com raio
(modelo comum em empacotamento).
- O que vamos fornecer:
- Definição e cálculo passo a passo da densidade linear (átomos por unidade de comprimento ao longo de
). - Definição e cálculo do fator de empacotamento linear (fração do comprimento ocupado por matéria ao longo dessa direção).
- Definição e cálculo passo a passo da densidade linear (átomos por unidade de comprimento ao longo de
Passo 2
Relembrando propriedades do CS e determinação do raio atômico
.
- Em um cristal cúbico simples (CS) existe um átomo por célula unitária (na prática, átomos nos 8 vértices compartilhados), e os átomos se tocam ao longo das arestas do cubo.
- Portanto a distância entre centros de átomos que se tocam é igual ao parâmetro de rede
. Assim o diâmetro do átomo vale e o raio vale
- Substituindo
:
Passo 3
Definição formal da densidade linear e do comprimento de repetição na direção
.
- Densidade linear (LD): é o número de centros atômicos que pertencem à linha de interesse por unidade de comprimento ao longo dessa linha. Em fórmulas:
onde
é o menor deslocamento de rede ao longo da direção que leva a um ponto de rede equivalente (o vetor de rede da direção).
- Para uma direção
em rede cúbica, um vetor de repetição é e seu comprimento é
- Aqui
significa , então
- Com
:
Passo 4
Determinar quantos átomos têm centros sobre o segmento de repetição na direção
.
- Em uma rede CS, os centros de rede estão em posições inteiras do tipo
. O vetor liga um ponto de rede ao ponto de rede ; esse é o menor vetor de repetição na direção . - Dentro de um segmento entre dois pontos de rede equivalentes (o próprio segmento de repetição) há exatamente um átomo “por repetição” considerado para densidade linear (é a unidade repetitiva da rede ao longo daquela direção). Assim
(Em outras palavras, a cada deslocamento
encontra-se mais um centro de rede; a densidade é contada por esse espaçamento.)
Passo 5
Cálculo da densidade linear numericamente.
- Aplicando a fórmula
- Substituindo
:
- (Se preferir em unidades por nanômetro: multiplicar por
, fica .)
Passo 6
Definição e cálculo do fator de empacotamento linear (LPF).
- O fator de empacotamento linear é a fração do comprimento da repetição ocupada pela matéria (projeção dos átomos) ao longo da direção considerada. Para esferas cujo centro está sobre a linha, a projeção de cada esfera sobre a linha tem comprimento igual ao diâmetro
. - Assim, se houver
átomos por segmento de repetição:
- No nosso caso
, (pois ) e . Portanto
- Numericamente,
- Interpretação rápida: cerca de
do comprimento ao longo de é ocupado por matéria (proj. das esferas); o restante são vazios entre os átomos nessa direção.
Passo 7
Resumo final dos valores calculados (valores arredondados com 4 casas significativas).
- Densidade linear:
(ou ). - Fator de empacotamento linear:
.