Calcule a densidade linear e o fator de empacotamento linear no sistema CS para a direção [011], supondo ligações metálicas entre os átomos e que o parâmetro de rede seja 4 Å.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pedido: calcular (i) a densidade linear e (ii) o fator de empacotamento linear para a direção [011] no sistema cúbico simples (CS), assumindo ligações metálicas (átomos como esferas) e parâmetro de rede a=4\\ \text{\AA}.
  • Dados relevantes:
    • Tipo de rede: cúbica simples (CS).
    • Direção cristalográfica: [011].
    • Parâmetro de rede: a=4\\ \text{\AA}.
    • Ligações metálicas → átomos podem ser tratados como esferas rígidas com raio R (modelo comum em empacotamento).
  • O que vamos fornecer:
    • Definição e cálculo passo a passo da densidade linear (átomos por unidade de comprimento ao longo de [011]).
    • Definição e cálculo do fator de empacotamento linear (fração do comprimento ocupado por matéria ao longo dessa direção).

Passo 2

Relembrando propriedades do CS e determinação do raio atômico R.
  • Em um cristal cúbico simples (CS) existe um átomo por célula unitária (na prática, átomos nos 8 vértices compartilhados), e os átomos se tocam ao longo das arestas do cubo.
  • Portanto a distância entre centros de átomos que se tocam é igual ao parâmetro de rede a. Assim o diâmetro do átomo vale 2R=a e o raio vale
R=\frac{a}{2}.
  • Substituindo a=4\\ \text{\AA}:
R=\frac{4\\ \text{\AA}}{2}=2\\ \text{\AA}.

Passo 3

Definição formal da densidade linear e do comprimento de repetição na direção [uvw].
  • Densidade linear (LD): é o número de centros atômicos que pertencem à linha de interesse por unidade de comprimento ao longo dessa linha. Em fórmulas:
\text{LD}=\frac{N_{\text{átomos no segmento de repetição}}}{L_{\text{repetição}}},áçãçã
onde L_{\text{repetição}}çã é o menor deslocamento de rede ao longo da direção que leva a um ponto de rede equivalente (o vetor de rede da direção).
  • Para uma direção [u v w] em rede cúbica, um vetor de repetição é \mathbf{R}=a(u,v,w) e seu comprimento é
L_{\text{repetição}}=a\sqrt{u^{2}+v^{2}+w^{2}}.çã
  • Aqui [011] significa u=0,\\ v=1,\\ w=1, então
L_{\text{repetição}}=a\sqrt{0^{2}+1^{2}+1^{2}}=a\sqrt{2}.çã
  • Com a=4\\ \text{\AA}:
L_{\text{repetição}}=4\\ \text{\AA}\cdot\sqrt{2}=4\sqrt{2}\\ \text{\AA}\approx 5{,}6569\\ \text{\AA}.çã

Passo 4

Determinar quantos átomos têm centros sobre o segmento de repetição na direção [011].
  • Em uma rede CS, os centros de rede estão em posições inteiras do tipo (i,j,k)a. O vetor (0,1,1)a liga um ponto de rede (0,0,0) ao ponto de rede (0,1,1)a; esse é o menor vetor de repetição na direção [011].
  • Dentro de um segmento entre dois pontos de rede equivalentes (o próprio segmento de repetição) há exatamente um átomo “por repetição” considerado para densidade linear (é a unidade repetitiva da rede ao longo daquela direção). Assim
N_{\text{átomos no segmento de repetição}}=1.áçã
(Em outras palavras, a cada deslocamento L_{\text{repetição}}çã encontra-se mais um centro de rede; a densidade é contada por esse espaçamento.)

Passo 5

Cálculo da densidade linear numericamente.
  • Aplicando a fórmula
\text{LD}=\frac{1}{L_{\text{repetição}}}=\frac{1}{a\sqrt{2}}.çã
  • Substituindo a=4\\ \text{\AA}:
\text{LD}=\frac{1}{4\sqrt{2}\\ \text{\AA}}=\frac{1}{5{,}656854\\ \text{\AA}}\approx 0{,}17678\\ \text{átomos/\AA}.á
  • (Se preferir em unidades por nanômetro: multiplicar por 10, fica \approx 1{,}7678\\ \text{átomos/nm}á.)

Passo 6

Definição e cálculo do fator de empacotamento linear (LPF).
  • O fator de empacotamento linear é a fração do comprimento da repetição ocupada pela matéria (projeção dos átomos) ao longo da direção considerada. Para esferas cujo centro está sobre a linha, a projeção de cada esfera sobre a linha tem comprimento igual ao diâmetro 2R.
  • Assim, se houver N átomos por segmento de repetição:
\text{LPF}=\frac{N\cdot(2R)}{L_{\text{repetição}}}.çã
  • No nosso caso N=1, 2R=a (pois R=a/2) e L_{\text{repetição}}=a\sqrt{2}çã. Portanto
\text{LPF}=\frac{1\cdot a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
  • Numericamente,
\text{LPF}\approx\frac{1}{1{,}4142136}\approx 0{,}70711\\ (\text{adimensional}).
  • Interpretação rápida: cerca de 70{,}7\% do comprimento ao longo de [011] é ocupado por matéria (proj. das esferas); o restante são vazios entre os átomos nessa direção.

Passo 7

Resumo final dos valores calculados (valores arredondados com 4 casas significativas).
  • Densidade linear: \text{LD}\approx 0{,}1768\\ \text{átomos/\AA}á (ou 1{,}7678\\ \text{átomos/nm}á).
  • Fator de empacotamento linear: \text{LPF}\approx 0{,}7071.

Resposta

\text{Densidade linear} = 0{,}1768\\ \text{átomos/\AA}á
\text{Fator de empacotamento linear} = 0{,}7071

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