Calcule as densidades lineares das direções [100]; [110] e [111], para a estrutura cristalina CFC.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que já temos: calcular as densidades lineares nas direções [100], [110] e [111] para a estrutura cúbica de faces centradas (CFC).
Informações relevantes que vamos usar (tomei-as como dadas pela definição da estrutura CFC):
  • A célula unitária é cúbica com parâmetro de rede \,a\,.
  • Na base da CFC (em coordenadas fracionárias da célula) há átomos nas posições
    \,(0,0,0),\\ (1/2,1/2,0),\\ (1/2,0,1/2),\\ (0,1/2,1/2).
    O enunciado pede explicitamente as densidades lineares para cada uma das três direções citadas.

Passo 2

Definição e método prático (isso é essencial para fazer na prova): o que é densidade linear e como calcular sem erro.
  • Definição: a densidade linear numa direção cristalográfica é o número de centros atômicos que estão situados sobre uma linha paralela àquela direção, por unidade de comprimento ao longo dessa linha. Em fórmulas: \rho_{\text{linear}}=\frac{N_{\text{por perído}}}{L_{\text{período}}},ííonde \,N_{\text{por perído}}\,í é o número de átomos (ou centros atômicos) que ocorrem numa unidade repetitiva ao longo da direção considerada, e \,L_{\text{período}}\,í é o comprimento dessa unidade repetitiva (o menor vetor de translação da rede ao longo daquela direção).
  • Procedimento prático (passo a passo que uso em cada direção):
    1. Identificar o menor vetor de rede ao longo da direção [u v w], que é \,\mathbf{R}=a[u,v,w]\, em coordenadas da célula (o comprimento é L=a\sqrt{u^{2}+v^{2}+w^{2}}).
    2. Contar quantos átomos da base (ou suas translações por vetores de rede) têm suas coordenadas sobre a linha paralela a [u v w] dentro de um período \mathbf{R}. Esse número é N_{\text{por perído}}í.
    3. Calcular \rho_{\text{linear}}=N_{\text{por perído}}/Lí.
  • Observação útil: essa contagem usando o período da rede evita confusões com “frações” de átomos por compartilhamento de células; contar os átomos da base que caem sobre a linha para o menor vetor de translação já dá o N_{\text{por perído}}í correto.

Passo 3

Aplicando o método para a direção [100].
  • Vetor de translação mínimo ao longo de [100]: \mathbf{R}=a[1,0,0]. O comprimento é L_{[100]}=a\sqrt{1^{2}+0^{2}+0^{2}}=a.
  • Quais átomos da base estão sobre uma linha do tipo [100] que passe por um vértice? Das posições da base da CFC, somente (0,0,0) está na linha (t,0,0). As outras três posições (1/2,1/2,0),\,(1/2,0,1/2),\,(0,1/2,1/2) NÃO estão na forma (t,0,0). Portanto, por período \mathbf{R} N_{[100]}=1.
  • Logo a densidade linear é \rho_{[100]}=\frac{N_{[100]}}{L_{[100]}}=\frac{1}{a}.
  • Interpretação prática: ao longo de [100] os centros atômicos aparecem a cada distância a, então há 1 átomo por comprimento a.

Passo 4

Aplicando o método para a direção [110].
  • Vetor de translação mínimo ao longo de [110]: \mathbf{R}=a[1,1,0]. O comprimento é L_{[110]}=a\sqrt{1^{2}+1^{2}+0^{2}}=a\sqrt{2}.
  • Quais átomos da base caem sobre a linha (t,t,0)? Das posições da base:
    • (0,0,0) está na linha (para t=0);
    • (1/2,1/2,0) também está na linha (para t=1/2);
    • (1/2,0,1/2) e (0,1/2,1/2) não estão na linha (t,t,0).
      Assim, por período \mathbf{R}
    N_{[110]}=2.
  • Portanto a densidade linear é \rho_{[110]}=\frac{N_{[110]}}{L_{[110]}}=\frac{2}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{a}.
  • Verificação física rápida (intuição): o menor espaçamento entre centros ao longo de [110] é a distância corner–centro-de-face =a/\sqrt{2}, logo o número de átomos por unidade de comprimento é 1/(a/\sqrt{2})=\sqrt{2}/a, igual ao que obtivemos.

Passo 5

Aplicando o método para a direção [111].
  • Vetor de translação mínimo ao longo de [111]: \mathbf{R}=a[1,1,1]. O comprimento é L_{[111]}=a\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}=a\sqrt{3}.
  • Quais átomos da base estão sobre a linha (t,t,t)? Das posições da base da CFC:
    • (0,0,0) está na linha (para t=0);
    • as posições de centro de face (1/2,1/2,0),\,(1/2,0,1/2),\,(0,1/2,1/2) NÃO têm a forma (t,t,t) (por exemplo, (1/2,1/2,0) tem z\neq t). Portanto, por período \mathbf{R}
    N_{[111]}=1.
  • Assim a densidade linear é \rho_{[111]}=\frac{N_{[111]}}{L_{[111]}}=\frac{1}{a\sqrt{3}}.
  • Intuição: ao longo da diagonal do cubo os centros mais próximos nesta direção estão separados por a\sqrt{3}, dando densidade pequena.

Passo 6

Resumo e interpretação final (um toque de incentivo): as direções [110] são as de maior densidade linear na CFC — isso é útil na prova porque são também direções mais “compactas” em termos de vizinhança atômica. Muito bem — a técnica que usamos (contar átomos da base sobre o menor vetor de translação e dividir pelo comprimento desse vetor) dá resultados diretos e evita confusões com frações de compartilhamento de células.

Resposta

\rho_{[100]}=\dfrac{1}{a}
\rho_{[110]}=\dfrac{\sqrt{2}}{a}
\rho_{[111]}=\dfrac{1}{a\sqrt{3}}

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