Calcule as densidades lineares das direções [100]; [110] e [111], para a estrutura cristalina CFC.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que já temos: calcular as densidades lineares nas direções
,
e
para a estrutura cúbica de faces centradas (CFC).
Informações relevantes que vamos usar (tomei-as como dadas pela definição da estrutura CFC):
Informações relevantes que vamos usar (tomei-as como dadas pela definição da estrutura CFC):
- A célula unitária é cúbica com parâmetro de rede
. - Na base da CFC (em coordenadas fracionárias da célula) há átomos nas posições
.
O enunciado pede explicitamente as densidades lineares para cada uma das três direções citadas.
Passo 2
Definição e método prático (isso é essencial para fazer na prova): o que é densidade linear e como calcular sem erro.
- Definição: a densidade linear numa direção cristalográfica é o número de centros atômicos que estão situados sobre uma linha paralela àquela direção, por unidade de comprimento ao longo dessa linha. Em fórmulas:
onde é o número de átomos (ou centros atômicos) que ocorrem numa unidade repetitiva ao longo da direção considerada, e é o comprimento dessa unidade repetitiva (o menor vetor de translação da rede ao longo daquela direção). - Procedimento prático (passo a passo que uso em cada direção):
- Identificar o menor vetor de rede ao longo da direção
, que é em coordenadas da célula (o comprimento é ). - Contar quantos átomos da base (ou suas translações por vetores de rede) têm suas coordenadas sobre a linha paralela a
dentro de um período . Esse número é . - Calcular
.
- Identificar o menor vetor de rede ao longo da direção
- Observação útil: essa contagem usando o período da rede evita confusões com “frações” de átomos por compartilhamento de células; contar os átomos da base que caem sobre a linha para o menor vetor de translação já dá o
correto.
Passo 3
Aplicando o método para a direção
.
- Vetor de translação mínimo ao longo de
: . O comprimento é - Quais átomos da base estão sobre uma linha do tipo
que passe por um vértice? Das posições da base da CFC, somente está na linha . As outras três posições NÃO estão na forma . Portanto, por período há - Logo a densidade linear é
- Interpretação prática: ao longo de
os centros atômicos aparecem a cada distância , então há átomo por comprimento .
Passo 4
Aplicando o método para a direção
.
- Vetor de translação mínimo ao longo de
: . O comprimento é - Quais átomos da base caem sobre a linha
? Das posições da base: -
está na linha (para ); -
também está na linha (para ); -
e não estão na linha .
Assim, por períodohá
-
- Portanto a densidade linear é
- Verificação física rápida (intuição): o menor espaçamento entre centros ao longo de
é a distância corner–centro-de-face , logo o número de átomos por unidade de comprimento é , igual ao que obtivemos.
Passo 5
Aplicando o método para a direção
.
- Vetor de translação mínimo ao longo de
: . O comprimento é - Quais átomos da base estão sobre a linha
? Das posições da base da CFC: -
está na linha (para ); - as posições de centro de face
NÃO têm a forma (por exemplo, tem ). Portanto, por período há
-
- Assim a densidade linear é
- Intuição: ao longo da diagonal do cubo os centros mais próximos nesta direção estão separados por
, dando densidade pequena.
Passo 6
Resumo e interpretação final (um toque de incentivo): as direções
são as de maior densidade linear na CFC — isso é útil na prova porque são também direções mais “compactas” em termos de vizinhança atômica. Muito bem — a técnica que usamos (contar átomos da base sobre o menor vetor de translação e dividir pelo comprimento desse vetor) dá resultados diretos e evita confusões com frações de compartilhamento de células.