Em um agregado de Fe puro, o que acontece com a densidade quando ocorre a transformação alotrópica CFC → CCC? (Justifique a resposta)

Passo 1

O enunciado pergunta o que acontece com a densidade quando ferro puro sofre a transformação alotrópica CFC → CCC. Informações dadas (implícitas no enunciado):
  • A transformação é entre duas estruturas cristalinas cúbicas: CFC (cúbica de faces centradas) e CCC (cúbica de corpo centrado).
  • A massa atômica do ferro e o número de Avogadro não mudam na transformação (átomos não viram outros elementos).
    O que se pede: comparar as densidades antes e depois da transformação e justificar.

Passo 2

Definição útil e fórmula geral da densidade cristalina. A densidade \rho de um material cristalino pode ser calculada como a massa por célula unidade dividida pelo volume da célula unidade:
\rho=\frac{n\,M}{N_A\,a^3},
onde:
  • n é o número de átomos por célula unidade (sem dimensões);
  • M é a massa molar do elemento (unidade: \mathrm{kg\cdot mol^{-1}} ou \mathrm{g\cdot mol^{-1}});
  • N_A é a constante de Avogadro ( N_A\approx6,022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}});
  • a é o parâmetro de rede (aresta da célula cúbica) e a^3 é o volume da célula unidade ( \mathrm{m^3} ou \mathrm{cm^3}).
    Essa fórmula é direta: massa na célula = n átomos × (massa por átomo =M/N_A), e densidade = massa / volume.

Passo 3

Determinar n para CFC e CCC.
  • Para CFC (FCC) sabe-se que há 4 átomos por célula unidade: cada vértice contribui 1/8 (8 vértices) e cada face contribui 1/2 (6 faces) → 8\cdot\frac{1}{8}+6\cdot\frac{1}{2}=1+3=4. Logo n_{\text{CFC}}=4.
  • Para CCC (BCC) há 2 átomos por célula unidade: 8 vértices com 1/8 cada e 1 átomo no centro (inteiro) → 8\cdot\frac{1}{8}+1=1+1=2. Logo n_{\text{CCC}}=2.

Passo 4

Relacionar o parâmetro de rede a com o raio atômico r em cada estrutura (importante para comparar volumes de célula).
  • Na CFC os átomos se tocam ao longo da diagonal da face. A diagonal da face vale \sqrt{2}\,a e corresponde a 4r (dois raios em cada átomo que se tocam na face): \sqrt{2}\,a_{\text{CFC}}=4r. Assim
a_{\text{CFC} }=\frac{4r}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\,r.
  • Na CCC os átomos se tocam ao longo da diagonal do cubo (diagonal do corpo). A diagonal do corpo vale \sqrt{3}\,a e corresponde a 4r: \sqrt{3}\,a_{\text{CCC}}=4r. Assim
a_{\text{CCC}}=\frac{4r}{\sqrt{3}}.
Observação (assunção): ao comparar densidades usamos que o raio atômico r do ferro não muda bruscamente na troca de empacotamento (a massa atômica não muda e as distâncias interatômicas mudam segundo as relações acima). Essa é a forma usual de estimar a mudança de densidade entre estruturas cristalinas.

Passo 5

Calcular os volumes das células unidade em termos de r.
V_{\text{CFC}}=a_{\text{CFC}}^{3}=(2\sqrt{2}\,r)^{3}=16\sqrt{2}\,r^{3}.
V_{\text{CCC}}=a_{\text{CCC}}^{3}=\left(\frac{4r}{\sqrt{3}}\right)^{3}=\frac{64\,r^{3}}{3\sqrt{3}}.

Passo 6

Escrever as densidades e formar a razão \dfrac{\rho_{\text{CCC}}}{\rho_{\text{CFC}}} para cancelar M, N_A e r^3:
\rho_{\text{CFC}}=\frac{n_{\text{CFC}}\,M}{N_A\,V_{\text{CFC}}}=\frac{4M}{N_A\cdot 16\sqrt{2}\,r^{3}},
\rho_{\text{CCC}}=\frac{n_{\text{CCC}}\,M}{N_A\,V_{\text{CCC}}}=\frac{2M}{N_A\cdot \dfrac{64\,r^{3}}{3\sqrt{3}}}.
Agora a razão:
\frac{\rho_{\text{CCC}}}{\rho_{\text{CFC}}} =\frac{\dfrac{2M}{N_A}\cdot \dfrac{3\sqrt{3}}{64\,r^{3}}}{\dfrac{4M}{N_A}\cdot \dfrac{1}{16\sqrt{2}\,r^{3}}} =\frac{2\cdot 3\sqrt{3}/64}{4\cdot 1/(16\sqrt{2})} =\frac{6\sqrt{3}/64}{4/(16\sqrt{2})}.

Passo 7

Simplificar a expressão algébrica e obter valor exato e numérico:
Continuando a simplificação:
\frac{\rho_{\text{CCC}}}{\rho_{\text{CFC}}} =\frac{6\sqrt{3}}{64}\cdot\frac{16\sqrt{2}}{4} =\frac{6\sqrt{3}\cdot 16\sqrt{2}}{64\cdot 4} =\frac{96\sqrt{6}}{256} =\frac{3\sqrt{6}}{8}.
Logo temos a expressão exata
\frac{\rho_{\text{CCC}}}{\rho_{\text{CFC}}}=\frac{3\sqrt{6}}{8}.
Valor numérico:
\frac{3\sqrt{6}}{8}\approx 0,9186.
Portanto a densidade na CCC (BCC) é aproximadamente 91,86\% da densidade na CFC (FCC), ou seja, diminui cerca de 8,14\%.

Passo 8

Interpretação física e conclusão clara (com um toque de ânimo):
  • A estrutura CFC tem maior eficiência de empacotamento ( \approx0,7405) do que a CCC ( \approx0,68), logo, com os mesmos átomos a CFC é mais densa.
  • Assim, na transformação CFC → CCC a densidade diminui. Em ferro puro isso corresponde ao fato conhecido de que a fase austenita (CFC) é mais densa que a ferrita (CCC).
  • Resumo prático para prova: cite o número de átomos por célula e as relações a(r), mostre a razão \dfrac{3\sqrt{6}}{8} e conclua que a densidade cai em cerca de 8\%. Tu consegue lembrando desses passos simples na hora!

Resposta

A densidade diminui; \displaystyle \frac{\rho_{\text{CCC}}}{\rho_{\text{CFC}}}=\frac{3\sqrt{6}}{8}\approx0,9186 (isto é, cerca de 8{,}14\% menor).

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