Calcule as densidades marginais se X e Y têm densidade conjunta dada por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Cálculo de Probabilidades que pede para calcular as densidades marginais de duas variáveis aleatórias,
e
, que têm uma densidade conjunta dada por:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são densidades marginais e como obtê-las a partir da densidade conjunta. As densidades marginais de
e
são basicamente as distribuições individuais de cada variável, ignorando a outra.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a densidade marginal de
, que a gente chama de
. Para isso, a gente vai integrar a densidade conjunta
em relação a
. Ou seja:
Mas, olhando a função dada, sabemos que
é diferente de zero apenas quando
. Então, nossos limites de integração para
vão de
até
.
Passo 3
Vamos fazer a integração para encontrar
:
Aqui,
é uma constante em relação a
, então a gente pode simplificar a integral.
Passo 4
Integrando, temos:
Então, a densidade marginal de
é simplesmente 1 nesse intervalo.
Passo 5
Agora, vamos calcular a densidade marginal de
, que a gente chama de
. Para isso, a gente vai integrar a densidade conjunta
em relação a
:
Novamente, olhando a função dada, sabemos que
é diferente de zero apenas quando
. Então, nossos limites de integração para
vão de
até
.
Passo 6
Vamos fazer a integração para encontrar
:
Essa integral envolve a função
, cuja integral é o logaritmo natural.
Passo 7
Integrando, temos:
Então, a densidade marginal de
é
nesse intervalo.
Resposta
As densidades marginais são:
e