Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
f(x)=\operatorname{arctg}\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\operatorname{arctg}\bigl(\sqrt{x^{2}-1}\bigr),
ou seja, vamos usar a regra da cadeia junto com a derivada de \operatorname{arctg}(u) e a derivada de \sqrt{x^{2}-1}. Observação: a função está definida para \sqrt{x^{2}-1} real, logo \lvert x\rvert>1.

Passo 2

Seja u(x)=\sqrt{x^{2}-1}. Pela regra da cadeia e sabendo que
\frac{d}{du}\bigl[\operatorname{arctg}(u)\bigr] =\frac{1}{1+u^{2}},
temos
f'(x) =\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{arctg}(u(x))\bigr] =\frac{1}{1+\bigl(u(x)\bigr)^{2}}\;u'(x).

Passo 3

Agora derivamos u(x)=\sqrt{x^{2}-1}=(x^{2}-1)^{\tfrac12}. Pelo expoente e pela regra da cadeia:
u'(x) =\tfrac12\,(x^{2}-1)^{-\tfrac12}\cdot 2x =\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}.

Passo 4

Substituindo em f'(x):
f'(x) =\frac{1}{1+\bigl(\sqrt{x^{2}-1}\bigr)^{2}} \;\cdot\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}} =\frac{1}{1+(x^{2}-1)}\;\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}} =\frac{1}{x^{2}}\;\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}} =\frac{1}{x\,\sqrt{x^{2}-1}}.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{x\,\sqrt{x^{2}-1}},\quad\lvert x\rvert>1.

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