Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
f(x)=\operatorname{arccos} \frac{x}{3}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr).
O conteúdo envolvido é a derivada de uma função inversa trigonométrica (no caso, \operatorname{arccos}) combinada com a regra da cadeia.

Passo 2

Recordamos a derivada da função externa: se g(u)=\operatorname{arccos}(u), então
g'(u)=-\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}.

Passo 3

Identificamos a função interna u(x)=\tfrac{x}{3}.
Logo,
u'(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{x}{3}\Bigr)=\frac{1}{3}.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia,
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) =-\frac{1}{\sqrt{1-\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr)^2}}\;\cdot\;\frac{1}{3} =-\frac{1}{3\sqrt{1-\tfrac{x^2}{9}}}.
Para simplificar, note que
\sqrt{1-\tfrac{x^2}{9}} =\frac{\sqrt{9-x^2}}{3},
portanto
f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{9-x^2}}.

Resposta

f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{9-x^2}}.

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