Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(o) f(x)=4 \operatorname{sen}^{3} 2 x+\operatorname{tg}^{3} 3 x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=4\sin^{3}(2x)+\tan^{3}(3x).
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia combinada com a regra da potência: quando temos algo na forma g(x)^n, sua derivada é n\,g(x)^{n-1}\,g'(x).

Passo 2

Vamos derivar o primeiro termo, 4\sin^{3}(2x). Aplicando regra da potência e depois regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(4\sin^{3}(2x)\bigr) =4\cdot3\,\sin^{2}(2x)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\sin(2x)\bigr) =12\,\sin^{2}(2x)\cdot\cos(2x)\cdot2 =24\,\sin^{2}(2x)\cos(2x).

Passo 3

Agora derivamos o segundo termo, \tan^{3}(3x). De novo, potência e cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(\tan^{3}(3x)\bigr) =3\,\tan^{2}(3x)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\tan(3x)\bigr) =3\,\tan^{2}(3x)\cdot\operatorname{sec}^{2}(3x)\cdot3 =9\,\tan^{2}(3x)\operatorname{sec}^{2}(3x).

Passo 4

Somando as duas derivadas pelo princípio da linearidade, obtemos
f'(x)=24\,\sin^{2}(2x)\cos(2x)+9\,\tan^{2}(3x)\operatorname{sec}^{2}(3x).

Resposta

f'(x)=24\,\sin^{2}(2x)\cos(2x)+9\,\tan^{2}(3x)\operatorname{sec}^{2}(3x).

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