Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
§ f(x)=\frac{\operatorname{tg}^{4} x}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\frac{\tan^{4}x}{x^{2}+1}.
O conteúdo envolvido é a regra do quociente e a derivada de \tan x, que é \operatorname{sec}^{2}x.

Passo 2

Definimos
u(x)=\tan^{4}x \quad\text{e}\quad v(x)=x^{2}+1.
Vamos calcular u'(x) e v'(x).

Passo 3

Para u(x)=\tan^{4}x, usamos a regra da cadeia:
u'(x)=4\,\tan^{3}x\cdot\bigl(\tan x\bigr)'=4\,\tan^{3}x\cdot\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 4

Para v(x)=x^{2}+1, a derivada é direta:
v'(x)=2x.

Passo 5

Pela regra do quociente,
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}} =\frac{4\,\tan^{3}x\,\operatorname{sec}^{2}x\,(x^{2}+1)\;-\;2x\,\tan^{4}x}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 6

Podemos fatorar \tan^{3}x no numerador para simplificar um pouco:
f'(x) =\frac{\tan^{3}x\Bigl[4\,\operatorname{sec}^{2}x\,(x^{2}+1)-2x\,\tan x\Bigr]}{(x^{2}+1)^{2}}.

Resposta

f'(x) =\frac{4\,\tan^{3}x\,\operatorname{sec}^{2}x\,(x^{2}+1)\;-\;2x\,\tan^{4}x}{(x^{2}+1)^{2}}
ou, de forma fatorada,
f'(x) =\frac{\tan^{3}x\bigl[4\,\operatorname{sec}^{2}x\,(x^{2}+1)-2x\,\tan x\bigr]}{(x^{2}+1)^{2}}.

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