Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(j) f(x)=\ln \left(x^{4}+x\right)^{5}+x^{2}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\ln\!\bigl(x^{4}+x\bigr)^{5}+x^{2}.
O conteúdo envolvido é a derivada de logaritmo, a regra da cadeia e a regra da soma de funções.

Passo 2

Usamos a propriedade de logaritmos
\ln\bigl(u^{5}\bigr)=5\,\ln(u),
com u=x^{4}+x. Assim
f(x)=5\,\ln\bigl(x^{4}+x\bigr)+x^{2}.

Passo 3

Para derivar 5\,\ln(x^{4}+x) aplicamos a regra da cadeia: se h(x)=\ln(u(x)) então
h'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui u(x)=x^{4}+x e u'(x)=4x^{3}+1. Logo
\frac{d}{dx}\bigl[5\,\ln(x^{4}+x)\bigr] =5\cdot\frac{4x^{3}+1}{x^{4}+x}.

Passo 4

A derivada de x^{2} pela regra do poder é
\frac{d}{dx}\bigl[x^{2}\bigr]=2x.

Passo 5

Somando as duas partes, obtemos
f'(x) =5\,\frac{4x^{3}+1}{x^{4}+x}+2x.

Resposta

f'(x)=\frac{5\,(4x^{3}+1)}{x^{4}+x}+2x.

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