Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(i) f(x)=\log _{2} x+\left(x^{2}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=\log_{2}x + \bigl(x^{2}\bigr)^{x}.
O conteúdo usado será:
  1. Derivada de logaritmo em base qualquer, lembrando que \frac{d}{dx}\bigl(\log_{a}x\bigr)=\frac{1}{x\ln a}.
  2. Derivada de função na forma h(x)=u(x)^{v(x)}, que fazemos reescrevendo como exponencial h(x)=e^{v(x)\ln u(x)}.

Passo 2

Calculamos a derivada do primeiro termo usando a fórmula do logaritmo em base 2:
\frac{d}{dx}\bigl(\log_{2}x\bigr) =\frac{1}{x\ln 2}.

Passo 3

Para o segundo termo, note que
g(x)=\bigl(x^{2}\bigr)^{x} =x^{2x} =e^{\,\underbrace{2x\ln x}_{h(x)}}.
Vamos derivar g(x)=e^{h(x)} usando a regra da cadeia.

Passo 4

Calculamos primeiro h(x)=2x\ln x. Então
h'(x) =2\ln x + 2x\cdot\frac{1}{x} =2\ln x + 2.
Logo, pela regra da cadeia,
g'(x) =e^{h(x)}\cdot h'(x) =x^{2x}\bigl(2\ln x + 2\bigr).

Passo 5

Agora somamos as duas derivadas:
f'(x) =\frac{1}{x\ln 2} + x^{2x}\bigl(2\ln x + 2\bigr).

Resposta

f'(x) =\frac{1}{x\ln 2} + x^{2x}\bigl(2\ln x + 2\bigr).

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